Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. A. Luttmann Dipl.Math. C. Niebuhr
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2016/17 — ¨Ubung 9 — 20.12.2016 Abgabe: 10.01.2017
Aufgabe 20(Anisotrope Rechteck-Elemente) (6 Punkte)
Es seienR0 = (0,1)d der d-dimensionale Einheitsw¨urfel und R ein achsenparalleler Quader, affin
¨aquivalent zuR0 mit der Abbildung
F :R0 →R, F(y) =Ay+b, A= diag(h1, . . . , hd).
a) Zeigen Sie, dass mit m∈N0 f¨ur|α| ≤m,v∈Hm(R) und ˆv:=v◦F gilt:
kDαvkˆ L2(R0) =hα−12kDαvkL2(R). Dabei bezeichnet hα−12 =
d
Q
i=1
hαi−
1 2
i .
b) Sei P(R0) ein endlichdimensionaler Funktionenraum auf R0 und P(R) der auf R transfor- mierte Raum. Zeigen Sie, dass es dann eine Konstantec >0gibt so dass f¨ur allep∈Pund i= 1, . . . , dgilt:
∂p
∂xi
L2(R)≤c1 hi
kpkL2(R).
Programmieraufgabe 4 (8 Punkte)
Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 3 auf die Finite-Elemente-Methode mit P2-Elementen in 1D zur L¨osung des Problems
−ε u00+b u0=f in Ω = (A, B), u=g auf ∂Ω mitε >0.
a) Zu den Werten in den Intervallteilungspunktenxi kommen die Werte in den Intervallmittel- punkten (xi+xi+1)/2als Freiheitsgrade (und Unbekannte) dazu.
F¨ur Integrale wieR
Ikϕi(x)f(x)dxben¨otigen Sie jetzt typischerweise bessere Quadraturfor- meln als bei der P1-Methode.
b) Testen Sie das Programm wieder durch Anwendung auf das Problem mit ε= 1 und b= 0 auf dem Einheitsintervall(0,1)mit exakter L¨osungu(x) =sin(x), mit N=5, 9, 17, 33, 65, 129 und xi= (i−1)/(N−1).
Welche Konvergenzrate beobachten Sie f¨urku−uhkL2(Ω)? Welche f¨urku0−u0hkL2(Ω)? c) Berechnen Sie die L¨osung des Advektionsproblems mit b = 1, ε = 1,0.1,0.01,0.001 und
f = 0auf dem Intervall(0,2)mit Dirichlet-Randwertenu(0) = 1,u(2) = 0. Wie fein muss das Gitter jeweils mindestens sein, damit die L¨osung ‘vern¨unftig’ aussieht?
[www.123gif.de]
Frohe Weihnachten
und alles Gute und viel Erfolg f¨urs neue Jahr!
