Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15 — ¨Ubung 5 — 18.11.2014 Abgabe: 25.11.2014
Aufgabe 9 (6 Punkte)
Auf dem Raum X={v∈C1[0,1], v(0) = 0} sei das Funktional
E(v) = 1 2
Z 1 0
p(x)v′(x)2dx+1 2
Z 1 0
q(x)v(x)2dx− Z 1
0
f(x)v(x)dx
gegeben mit p, q, f ∈C[0,1].
• Stellen Sie die schwache Form der Eulergleichung zu E auf, d.h. welche Gleichung gilt f¨ur eine L¨osung u∈X des Minimierungsproblems E(u) = infv∈XE(v) ?
• Stellen Sie die starke Form der Eulergleichung zuEauf (fallsu∈C2(0,1)undp∈C1[0,1]).
Welche Randbedingung f¨ur ugilt in x= 1?
Aufgabe 10 (Kettenregel f¨ur Sobolev-Funktionen) (4 Punkte) Sei f ∈C1(R) mitsup|f′| ≤M <∞ und u∈H1(Ω),Ω⊂Rd offen und beschr¨ankt.
Zeigen Sie: Dann ist f◦u∈H1(Ω)und
∂(f ◦u)
∂xi
=f′(u)∂u
∂xi
, i= 1, . . . , d.
Tip: Approximiere u.
Aufgabe 11 (4 Punkte)
Wir schreiben u+(x) = max(u(x),0) undu−(x) = min(u(x),0). Zeigen Sie, dass f¨uru∈H1(Ω) gilt: u+, u−,|u| ∈H1(Ω)und
∂u+
∂xi
= ∂u
∂xi u >0, 0 u≤0,
∂u−
∂xi
=
0 u≥0,
∂u
∂xi u <0,
∂|u|
∂xi
=
∂u
∂xi u >0, 0 u= 0,
−∂x∂ui u <0.
Tip: Definiere fε(s) :=
√
s2+ε2−ε s >0,
0 s≤0 und wende Aufgabe 10 auffε an.
Aufgabe 12 (4 Punkte)
Beweisen Sie das folgende Maximumprinzip:
SeiΩ⊂Rdein beschr¨anktes Gebiet, und u∈H01(Ω)schwache L¨osung des Problems
−∆u+c u=f in Ω, u= 0 auf ∂Ω mit f ∈L2(Ω)und c∈L∞(Ω),c≥0, d.h.
Z
Ω∇u· ∇ϕ+c u ϕ= Z
Ω
f ϕ f¨ur alleϕ∈H01(Ω).
Dann gilt: Ist f ≤0, so ist auchu≤0.
Tip: Testen der Gleichung mit u+, vgl. Aufgabe 11.
