Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. A. Luttmann Dipl.Math. C. Niebuhr
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2016/17 — ¨Ubung 8 — 13.12.2016 Abgabe: 20.12.2016
Aufgabe 17 (3 Punkte)
SeiS ein Simplex im Rd mit baryzentrischen Koordinatenλ0(x), . . . , λd(x). Zeigen Sie, dass f¨ur α∈Nd+10
Z
S
λα(x)dx= α!d!
(|α|+d)!|S|
gilt. Dabei istλα=λα00 ·. . .·λαdd,|α|=α0+. . .+αd und α! =α0!·. . .·αd!.
Tipp: Aufgabe 16 und Induktion ¨uber d.
Aufgabe 18(L2-Projektion) (4 Punkte)
Es sei S eine konforme und nicht degenerierte Triangulierung von Ω ⊂ Rd und Xh = {vh ∈ L2(Ω) : vh|S˚∈Pk(˚S)f¨ur alle S ∈ S}.
Zeigen Sie: Zu jedemu∈L2(Ω)gibt es genau einuh∈Xh, so dass ku−uhkL2(Ω)= inf
vh∈Xh
ku−vhkL2(Ω)
gilt.uh ist die eindeutige L¨osung vonR
Ωuhϕh=R
Ωuϕh ∀ϕh ∈Xh.Außerdem gibt es einc >0 so dass f¨uru∈H1(Ω)gilt:
ku−uhkL2(Ω)≤c h(S)kukH1(Ω) mit h(S) = max
S∈S h(S).
Aufgabe 19 (6 Punkte)
Zum diskreten Maximumprinzip f¨ur lineare Finite Elemente Funktionen
Sei Ω ⊂ R2 zul¨assig trianguliert durch S und (ϕi)i=1,...,N die Knotenbasis zu den st¨uckweise linearen Finiten Elementen aufS. Zeigen Sie: Wenn gelten soll
Z
Ω
∇ϕi∇ϕj ≤0 ∀i6=j
dann muss die TriangulierungS schwach spitz sein, d.h. f¨ur je zwei benachbarte DreieckeS1, S2 ∈ S mit gemeinsamer KanteE =S1∩S2 darf die Summe der beiden Winkel in S1, S2 gegen¨uber E nicht gr¨oßer als 180◦ sein.
Links: schwach spitze Triangulierung, rechts: nicht schwach spitz