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Numerik partieller Differentialgleichungen

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. A. Luttmann Dipl.Math. C. Niebuhr

Numerik partieller Differentialgleichungen

WS 2016/17 — ¨Ubung 8 — 13.12.2016 Abgabe: 20.12.2016

Aufgabe 17 (3 Punkte)

SeiS ein Simplex im Rd mit baryzentrischen Koordinatenλ0(x), . . . , λd(x). Zeigen Sie, dass f¨ur α∈Nd+10

Z

S

λα(x)dx= α!d!

(|α|+d)!|S|

gilt. Dabei istλαα00 ·. . .·λαdd,|α|=α0+. . .+αd und α! =α0!·. . .·αd!.

Tipp: Aufgabe 16 und Induktion ¨uber d.

Aufgabe 18(L2-Projektion) (4 Punkte)

Es sei S eine konforme und nicht degenerierte Triangulierung von Ω ⊂ Rd und Xh = {vh ∈ L2(Ω) : vh|S˚∈Pk(˚S)f¨ur alle S ∈ S}.

Zeigen Sie: Zu jedemu∈L2(Ω)gibt es genau einuh∈Xh, so dass ku−uhkL2(Ω)= inf

vh∈Xh

ku−vhkL2(Ω)

gilt.uh ist die eindeutige L¨osung vonR

uhϕh=R

h ∀ϕh ∈Xh.Außerdem gibt es einc >0 so dass f¨uru∈H1(Ω)gilt:

ku−uhkL2(Ω)≤c h(S)kukH1(Ω) mit h(S) = max

S∈S h(S).

Aufgabe 19 (6 Punkte)

Zum diskreten Maximumprinzip f¨ur lineare Finite Elemente Funktionen

Sei Ω ⊂ R2 zul¨assig trianguliert durch S und (ϕi)i=1,...,N die Knotenbasis zu den st¨uckweise linearen Finiten Elementen aufS. Zeigen Sie: Wenn gelten soll

Z

∇ϕi∇ϕj ≤0 ∀i6=j

dann muss die TriangulierungS schwach spitz sein, d.h. f¨ur je zwei benachbarte DreieckeS1, S2 ∈ S mit gemeinsamer KanteE =S1∩S2 darf die Summe der beiden Winkel in S1, S2 gegen¨uber E nicht gr¨oßer als 180 sein.

Links: schwach spitze Triangulierung, rechts: nicht schwach spitz

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