Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15 — ¨Ubung 3 — 04.11.2014 Abgabe: 11.11.2014
Aufgabe 7 (6 Punkte)
Sei Lu=−a∆u+cu mita >0,c≥0und udie L¨osung des Dirichlet-Problems im beschr¨ankten GebietΩ⊂R2,
Lu=f inΩ, u=g auf∂Ω.
a) Bestimmen Sie eine Differenzenapproximation Lh zu L und zeigen eine Konsistenz- absch¨atzung analog Lemma 3.8 der Vorlesung.
b) Zeigen Sie ein diskretes Maximum-Prinzip f¨ur Lh: Ist Lhuh ≤0 in Ωh und nimmt uh ein nichtnegatives Maximum inpij ∈˚Ωh an, dann istuh konstant auf ˚Ωh∪Γ∗h.
c) Zeigen Sie eine Fehlerabsch¨atzung f¨urku−uhkanalog Satz 3.10 der Vorlesung f¨ur den Fall u∈C4( ¯Ω) und Γh⊂∂Ω.
Programmieraufgabe 1 (8 Punkte)
Implementieren Sie das Finite Differenzen Verfahren f¨ur das Poisson-Problem
−∆u=f in Ω = (a, b)2, u=g auf ∂Ω.
Verwenden Sie den aus der Vorlesung bekannten 5-Punkte-Stern. Die L¨osung des linearen Glei- chungssysmems soll mit dem CG-Verfahren (mit d¨unn besetzter (sparse) Matrix) erfolgen. Stellen Sie die L¨osung graphisch dar (z. B. mit Hilfe der Funktion mesh()in Matlab).
a) Testen Sie das Programm anhand der Funktion
u(x1, x2) = sin(x1)∗cos(2πx2)
auf dem EinheitsquadratΩ = (0,1)2. Berechnen Sie den maximalen Fehler in einem Gitter- punkt und untersuchen Sie die Fehlerabnahme bei Halbierung der Schrittweite, f¨ur h = N1 mit N = 2,4,8,16,32,64,128.
b) Berechnen Sie die station¨are W¨armeverteilung in einem quadratischen Raum Ω = (0,1)2 ohne innere W¨armequelle (also mit f = 0) mit den folgenden Temperaturrandwerten:
Im Bereich (0.3,0.7)× {0} befindet sich ein Fenster, dort gilt g = 10, im Bereich{0} ×(0.3,0.7) befindet sich eine Heizung, dort gilt g = 40, an allen anderen Randpunkten
ist g= 20. g=10
g=40
