Numerik partieller Differentialgleichungen

Prof. Dr. A. Schmidt Dr. A. Luttmann

Numerik partieller Differentialgleichungen

WS 2018/19 — ¨Ubung 7 — 04.12.2018 Abgabe: 11.12.2018

Aufgabe 14 (6 Punkte)

a) Sei Sˆ der zweidimensionale Einheitssimplex und ϕˆ₀,ϕˆ₁,ϕˆ₂ seien die linearen Polynome mit ˆ

ϕi(ˆaj) =δi,j,i, j= 0,1,2. Berechnen Sie Z

Sˆ

∇ϕˆi(ˆx)· ∇ϕˆj(ˆx)dˆx

i,j=0,1,2

.

b) Es seien Ω ⊂ R² und S eine nicht degenerierte Triangulierung von Ω. S sei ein Dreieck der Triangulierung mit Eckpunkten a₀, a₁, a₂ und ϕ₀, ϕ₁, ϕ₂ seien die linearen Funktionen mit ϕi(aj) =δi,j,i, j= 0,1,2. Berechnen Sie mit Hilfe der affin linearen TransformationFS: ˆS→S und a) die Elementsteifigkeitsmatrix

Z

S

∇ϕ_i(x)· ∇ϕ_j(x)dx

i,j=0,1,2

.

Aufgabe 15 (3 Punkte)

Sei Iˆ= [0,1] der 1-dimensionale Einheitssimplex mit baryzentrischen Koordinaten ˆλ0(ˆx),ˆλ1(ˆx).

Sei weiterα₀, α₁∈N0. Zeigen Sie, dass dann gilt Z

Iˆ

λ0(ˆx)^α0λ1(ˆx)^α1dˆx= α0!α1! (α0+α1+ 1)!. Tip: Partielle Integration.

Aufgabe 16 (3 Punkte)

Sei S ein d-Simplex im R^d mit baryzentrischen Koordinaten λ0(x), . . . , λ_d(x). Zeigen Sie, dass f¨ur α∈N^d+1₀

Z

S

λ^α(x)dx= α!d!

(|α|+d)!|S|

gilt. Dabei istλ^α=λ^α₀⁰ ·. . .·λ^α_d^d,|α|=α₀+. . .+α_d und α! =α₀!·. . .·α_d!.

Tipp: Aufgabe 15 und Induktion ¨uber d.