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Numerik partieller Differentialgleichungen

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Academic year: 2021

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Zentrum für Technomathematik

Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn

Numerik partieller Differentialgleichungen

WS 2014/15 — ¨Ubung 7 — 02.12.2014 Abgabe: 09.12.2014

Aufgabe 15 (6 Punkte)

Es sei I = (0,1) und f sei gegeben durch f(ϕ) =ϕ(1

2) f¨ur alleϕ∈H01(I).

Bemerkung: Es gilt (in 1D !), dass f ∈H−1(I).

a) Bestimmen Sie die schwache L¨osung u∈H01(I)von

−u′′=f, u(0) =u(1) = 0.

b) Es seiS ={(xi, xi+1) |i= 0, . . . , n, 0 =x0< . . . < xn+1= 1} eine Zerlegung von I und Xh ={vh ∈C0( ¯I) |vh|(xi,xi+1) ∈P1, i= 0, . . . , n}.

Dabei sei n≥1 und xi = 12 f¨ur ein i.

Erstellen Sie das zugeh¨orige diskrete Gleichungssystem und berechnen Sie die diskrete L¨osung uh∈Xh,0 :=Xh∩H01(I).

Programmieraufgabe 3 (8 Punkte)

Implementieren Sie die Finite-Elemente-Methode mitP1-Elementen in 1D zur L¨osung des Problems

−u′′=f in Ω = (A, B), u=g auf∂Ω.

a) Legen Sie dazu einen Vektor mit den Intervallteilungspunkten (x1 = A < x2 < . . . <

xN = B) an und stellen Sie die Systemmatrix und rechte Seite durch Summation der entsprechenden Anteile der schwachen Formulierung auf den einzelnen Teilintervallen Ik auf.

Integrale wie R

Ikϕi(x)f(x)dx sollen durch geeignete Quadraturformeln berechnet werden.

b) Testen Sie das Programm durch Anwendung auf das Problem auf dem Einheitsintervall(0,1) mit exakter L¨osung u(x) =sin(x), mit N=5, 9, 17, 33, 65, 129 und xi = (i−1)/(N−1).

Welche Konvergenzrate beobachten Sie f¨ur ku−uhkL2(Ω)? Welche f¨urku−uhkL2(Ω)? c) Wenden Sie das Progamm auf das Problem aus Aufgabe 15 an. Welche Fehlerku−uhkund

Konvergenzraten beobachten Sie, falls keiner der Teilungspunkte auf den Punkt 0.5 f¨allt?

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