Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. A. Luttmann Dipl.Math. C. Niebuhr
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2016/17 — ¨Ubung 10 — 10.01.2017 Abgabe: 17.01.2017
Aufgabe 21(Zur Effizienz des Fehlersch¨atzers) (6 Punkte) Zu einem nicht degeneriertend-SimplexS ⊂Rd definiere das PolynomψS ∈Pd+1(S) durch
ψS(x) = (d+ 1)d+1
d
Y
i=0
λi(x), wobeiλi die baryzentrischen Koordinaten zu S sind.
Zu vorgegebenemk≥1 sei ϕ∈Pk(S). Zeigen Sie die Absch¨atzungen:
a) k√
ψSϕkL2(S) ≥ ckϕkL2(S), b) kψSϕkL2(S) ≤ kϕkL2(S),
c) k∇(ψSϕ)kL2(S) ≤ c 1
h(S)kϕkL2(S).
Aufgabe 22(Zur Konvergenz der adaptiven Methode) (6 Punkte) a) Sei X ein Hilbertraum und B eine stetige, koerzive symmetrische Bilinearform auf X und kvk2B = B(v, v) die durch das Skalarprodukt B induzierte Norm. Seien XH und Xh vollst¨andige Unterr¨aume mitXH ⊂Xh ⊂X.
Zu einem f ∈X0 sei u∈X die L¨osung von
B(u, v) =f(v) f¨ur alle v∈X
sowie uh∈Xh und uH ∈XH die entsprechenden L¨osungen der Unterraum-Probleme.
Zeigen Sie, dass dann gilt:
ku−uhk2B=ku−uHk2B− kuH −uhk2B
b) SeiSH eine zul¨assige Triangulierung vonΩundSh eine zul¨assige Verfeinerung vonSH. Zei- gen Sie, dass dann die entsprechenden Finite-Elemente-R¨aume mit st¨uckweise polynomialen Funktionen (XH zuSH,Xh zuSh) erf¨ullen
XH ⊂Xh ⊂X =H1(Ω).
c) Zeigen Sie: Wenn die Verfeinerung der Gitter in der adaptiven Methode so gemacht werden kann, dass f¨ur ein festesθ >0 in jeder Iteration (mituk∈Xk⊂Xk+1) gilt
kuk+1−ukk2B ≥θku−ukk2B,
so konvergiert der Fehlerku−uhkmindestens mit linearer Rate gegen Null, d.h. es gibt ein α <1so dass
ku−ukk2B ≤αkku−u0k2B.