Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15 — ¨Ubung 6 — 25.11.2014 Abgabe: 02.12.2014
Aufgabe 13 (6 Punkte)
Sei S ein nicht entartetesd-dimensionales Simplex im Rdmit Eckpunkten a0, . . . , ad.
Zeigen Sie: Es gibt genau eine affine Abbildung F : S0 → S, F(¯x) = A¯x+b mit einer d×d- MatrixA,detA6= 0, und einem b∈Rd so dassF(ej) =aj, j = 0, . . . , d. Ausserdem gelten die Absch¨atzungen
|A| ≤ h(S)
ρ(S0), |A−1| ≤ h(S0) ρ(S) und
|detA|= |S|
|S0|, c(d)ρ(S)d ≤ |detA| ≤ c(d)h(S)d mit einer nur von der Dimension dabh¨angigen Konstante c.
Aufgabe 14 (6 Punkte)
a) Sei Sˆ der zweidimensionale Einheitssimplex und ϕˆ0,ϕˆ1,ϕˆ2 seien die linearen Polynome mit ˆ
ϕi(ˆaj) =δi,j,i, j= 0,1,2. Berechnen Sie
Z
Sˆ
∇ϕˆi∇ϕˆj
i,j=0,1,2
.
b) Es seien Ω ⊂ R2 und S eine nicht degenerierte Triangulierung von Ω. S sei ein Dreieck der Triangulierung mit Eckpunkten a0, a1, a2 und ϕ0, ϕ1, ϕ2 seien die linearen Funktionen mit ϕi(aj) =δi,j,i, j = 0,1,2. Berechnen Sie mit Hilfe der affin linearen TransformationFS: ˆS→S und a) die Elementsteifigkeitsmatrix
Z
S
∇ϕi∇ϕj
i,j=0,1,2
.
