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Numerik partieller Differentialgleichungen

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. A. Schmidt Dr. A. Luttmann

Numerik partieller Differentialgleichungen

WS 2018/19 — ¨Ubung 3 — 06.11.2018 Abgabe: 13.11.2018

Aufgabe 5 (4 Punkte)

Konstruieren sie einen

”einseitigen“ Differenzenoperator f¨ur die zweite Ableitungu00(x)einer glat- ten Funktion u durch Verwendung der Gitterpunkte x, x+h, x+ 2h und x+ 3h, so dass ein Restterm der Ordnung O(h2) entsteht.

Wie glatt muss die Funktion u daf¨ur sein?

Aufgabe 6 (4 Punkte)

Zeigen Sie die Konsistenzabsch¨atzung auf einem nicht-¨aquidistanten Gitter:

a) F¨uru∈C4[x−hl, x+hr]gilt

−u00(x)− 2 hl+hr

u(x)−u(x+hr)

hr +u(x)−u(x−hl) hl

≤ C(hl+hr).

b) Falls f¨ur eine KonstanteK gilt dass hl ≤hr(1 +Khr) und hr≤hl(1 +Khl), so folgt

−u00(x)− 2 hl+hr

u(x)−u(x+hr) hr

+u(x)−u(x−hl) hl

≤ C(h2l +h2r).

Ein solches Gitter heißt lokal ¨aquidistant.

Aufgabe 7 (Zur Kondition der Systemmatrix bei Differenzenverfahren) (8 Punkte) Sei Ω = (0,1)⊂Rund wir betrachten das homogene Dirichlet-Problem

−u00=f in Ω, u= 0 auf ∂Ω.

ZuN ∈N sei h= N1 und Ωh={ai=ih, 0≤i≤N}das ¨aquidistante Gitter.

a) Zeigen Sie, dass die Gitterfunktionen

vk(ai) = sin(kπai), i= 0, . . . , N f¨ur k= 1, . . . , N−1 Eigenfunktionen des diskreten 1D-

”Laplace-Operators“ sind, d. h. −∆hvkkvk und vk= 0 auf Γh. Berechnen Sie die zugeh¨origen Eigenwerte λk. b) Berechnen Sie die Kondition der reduzierten Systemmatrix des Dirichlet-Problems.

Wie verh¨alt sich die Kondition bei Halbierung der Gitterweite?

c) Sch¨atzen Sie damit die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens zur iterativen L¨osung des linearen Gleichungssystems ab. Wie ¨andert sie sich bei Halbierung der Gitterweite? Was bedeutet dies f¨ur die Anzahl der typischerweise n¨otigen Iterationsschritte?

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