Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
SS 2010 2. Juli 2010
Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨
Blatt 11
Aufgabe 41
Seienf, g holomorphe Funktionen in einer Umgebung des Punktes a ∈C. Die Funktion g habe ina eine Nullstelle 1. Ordnung. Man zeige:
(i) Resz=af(z) g(z)
= f(a)
g0(a), (ii) Resz=a f(z) (z−a)2
=f0(a).
Aufgabe 42
Man berechne das Integral Z ∞
0
2x2+ 1 x4+ 5x2+ 1dx Aufgabe 43
Man berechne das Integral Z ∞
−∞
sinx x
2
dx.
Hinweis. Man benutze sin2x = 12Re(1 − e2ix) und integriere 1−ez22iz ¨uber eine geeignete geschlossene Kurve.
Aufgabe 44
Seiena, b∈C,a 6=b.
a) Man zeige, dass in einer Umgebung von∞ein holomorpher Zweig von logz−az−b existiert, der in∞ den Wert 0 annimmt.
b) Mit diesem Zweig berechne man f¨urr >max(|a|,|b|) die Integrale (i)
Z
|z|=r
log z−a
z−b dz (ii)∗ Z
|z|=r
ez log z−a
z−b dz (iii)∗ Z
|z|=r
sinz
z log z−a z−b dz
Abgabetermin:Freitag, 9. Juli 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.
