Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“

MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006

DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 3

P. Schauenburg

Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“

11. Sei T :C →C ein R-Automorphismus mit ^(T(1), T(i)) = ^π₂.

a) Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass T nicht winkeltreu sein muss.

b) Sei c ∈ C mit Re(c) 6= 0 und Im(c) 6= 0. Es gelte f¨ur T zus¨atzlich

^(T(c), T(ic)) = ^π₂. Zeige, dass T winkeltreu ist.

(Wurde in der Vorlesung gezeigt f¨ur c= 1−i.) 12. F¨ur A =

µa b c d

¶

∈GL2(C) ist die M¨obius-Transformation

fA:D→C, z 7→ az +b cz+d aus der Vorlesung bekannt, wobei D=

(C\ {−^d_c}, c6= 0

C, c= 0.

a) Es sei nun ¯C := C ∪ {∞}. Definiere eine bijektive Abbildung ˆf_A : C¯ → C¯ mit ˆf_A(z) = f_A(z) f¨ur alle z ∈ D, so dass die Zuordnung GL₂(C)→Abb( ¯C,C¯), A7→fˆ_A ein Gruppenhomomorphismus ist.

b) Zeige, dass sich ˆf_Aals Komposition spezieller M¨obius-Transformationen der Form ˆρ_s, ˆσ_t oder ˆτ darstellen l¨asst, wobei

ρ_s :C →C, z 7→sz, s ∈C\ {0}, σt:C→C, z7→z+t, t∈C, τ :C\ {0} →C, z7→1/z.

so wie in a) zu ˆρ_s, ˆσ_t und ˆτ fortgesetzt werden.

13. a) Seien A, B ∈R und w∈C mit |w|² >4AB. Zeige, dass die Menge K :={z ∈C|A|z|² + Re(wz) +B = 0}

entweder einen Kreis oder eine (reelle) Gerade in C darstellt. (Gib im Falle eines Kreises den Mittelpunkt und den Radius explizit an.)

b) Sei umgekehrt entweder K ={z ∈ C | |z−z₀| = r}, z₀ ∈ C, r > 0, ein Kreis oder K ={z ∈ C| hz, ni −c= 0}, n ∈C\ {0}, c∈R eine Gerade. Finde in beiden F¨allen geeignete Parameter A, B ∈ R und w∈C, so dass

K ={z ∈C |A|z|²+ Re(wz) +B = 0}.

14. Die MengeK ∈C¯ heißtKreis in C¯, falls entweder∞ 6∈K und K ein Kreis in C ist oder ∞ ∈K und K\ {∞} eine (reelle) Gerade in C ist.

Zeige, dass die fortgesetzten M¨obius-Transformationen ˆf_Aaus Aufgabe 12 a) Kreise in ¯C auf Kreise in ¯C abbilden.

Hinweis: Verwende Aufgabe 12 b) und Aufgabe 13.

15. Berechne das Kurvenintegral R

∂M

¯

zdz, wobei a) M = B_r(0), r >0,

b) M ={z ∈C | |Re(z)|<1 und|Im(z)|<1}.

c) M ={z ∈C | |Re(z)|+|Im(z)|<1}.

Dabei bedeutet R

∂M das Integral entlang einer geschlossenen Kurve γ, die auf dem Rand ∂M von M verl¨auft, so dass M immer

”links“ von γ liegt.

Abgabe:Donnerstag, den 18. Mai 2006, 11¹⁵ Uhr (K¨asten vor der Bibliothek)