MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006
DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 2
P. Schauenburg
Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“
6. Berechne die Wirtinger-Ableitungen ∂f∂z und ∂f∂¯z von a) f(z) = |z|,
b) f(z) = Re(z)·Im(z).
7. Bestimme alle Punkte der komplexen Ebene, in denen die Funktion a) sin(|z|2),
b) z(z+ ¯z2)
komplex differenzierbar ist.
8. Zeige: Ist f : D → C reell differenzierbar, D ⊂ C offen, so gilt f¨ur die Jacobi-Determinante:
det(Df) =
¯¯
¯¯∂f
∂z
¯¯
¯¯
2
−
¯¯
¯¯∂f
∂z¯
¯¯
¯¯
2
9. Zeige, dass es keine holomorphe Funktion f : C\ {0} → C mit f0(z) = 1z gibt.
Hinweis: Betrachtef ◦exp.
10. Gib eine holomorphe und bijektive Abbildung E → C− an. (Dabei ist C−:=C\ {z ∈C |Re(z)≤0,Im(z) = 0}.)
Abgabe:Donnerstag, den 11. Mai 2006, 1115 Uhr (K¨asten vor der Bibliothek)
