MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006
DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 4
P. Schauenburg L¨osungen
Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“
16. Die Kurve γ :=γ1⊕γ2⊕γ3⊕γ4, die aus
γ1 : [−r, r]→C, t7→i−t, γ2 : [−1,1]→C, t7→ −r−it, γ3 : [−r, r]→C, t7→ −i+t, γ4 : [−1,1]→C, t7→r+it zusammengesetzt ist, verl¨auft um das Rechteck R.
Z
∂R
1 zdz =
Zr
−r
−1 i−tdt+
Z1
−1
−i
−r−itdt+ Zr
−r
1
−i+tdt+ Z1
−1
i
r+itdt =
= 2 Zr
−r
1
t−idt+ 2 Z1
−1
1
t−ridt= 2 Zr
−r
t+i
1 +t2dt+ 2 Z1
−1
1
t−ridt=
= 2 Z0
−r
t
1 +t2dt+ 2 Zr
0
t
1 +t2dt+ 2 Zr
−r
i
1 +t2dt+ 2 Z1
−1
1
t−ridt =
= 2 Zr
0
−t
1 + (−t)2dt+ 2 Zr
0
t 1 +t2dt
| {z }
=0
+2i Zr
−r
1
1 +t2dt+ 2 Z1
−1
1 t−ridt.
Durch eine geeignete Zerlegung von γ−⊕∂E in Teilkurven, die auf einem sternf¨ormigen Teilgebiet von C\ {0} verlaufen, erkennt man, dass
Z
∂R
1 zdz =
Z
∂E
1
zdz = 2πi
gilt. Wegen
2πi= lim
r→∞
Z
∂R
1
zdz = 2i Z∞
−∞
1
1 +t2dt+ 2 lim
r→∞
Z1
−1
1 t−ridt
| {z }
=0
folgt
Z∞
−∞
1
1 +t2dt=π.
17. Es ist Z
∂E
1
(z−a)(z−b)dz = Z
∂E
1
a−b · z−b−(z−a) (z−a)(z−b)dz =
= 1
a−b
Z
∂E
1
z−adz− Z
∂E
1 z−bdz
=
=
2πi
a−b, a∈E, b 6∈E 0, a, b∈E∨a, b6∈E
−a−b2πi, a6∈E, b ∈E
.
18. a) Angenommen, ab6∈C−. Dann ist
0≥Re(ab) = Re(a)Re(b)−Im(a)Im(b),
und wegen Re(a)Re(b) > 0 folgt Im(a)Im(b) > 0. also m¨ussen Im(a) und Im(b) ungleich 0 sein und das gleiche Vorzeichen haben. Außerdem ist
0 = Im(ab) = Re(a)Im(b) + Im(a)Re(b),
also m¨ussen Im(a) und Im(b) beide gleich 0 sein oder verschiedene Vorzeichen haben (wegen Re(a)>0 und Re(b)>0). Widerspruch!
Betrachte nun die Ableitung der Funktion
la:{z ∈C |Re(z)>0} →C, z 7→log(az).
Es gilt la0(z) = az1 ·a = 1z f¨ur alle z ∈ C mit Re(z) > 0. Also folgt la(z) = log(z) +cf¨ur einc∈C. Wegenla(1) = log(a) mussc= log(a) sein, also log(az) = log(a) + log(z).
b) Zum Beispiel a = b = exp(2πi3 ) = −12 + 12√
3i. Dann ist log(ab) =
−2πi3 6= 4πi3 = log(a) + log(b).
19. f|Dk ist integrabel, besitzt also eine Stammfunktion Fk :Dk →C (jeweils f¨ur k= 1,2). Dann ist sowohlF1|D1∩D2 als auch F2|D1∩D2 eine Stamm- funktionen vonf|D1∩D2. DaD1∩D2 zusammenh¨angend ist, unterscheiden sich die beiden nur durch eine Konstante c∈C, also F1(z) = F2(z) +cf¨ur alle z ∈D1∩D2. Daher ist
F :D1∪D2 →C, z 7→
(
F1(z), z ∈D1
F2(z) +c, z ∈D2
wohl definiert und eine Stammfunktion von f.
20. SeiK :=∂B1(0) und L:=∂B1(s).M ist die Menge der komplexen Zahlen, die innerhalb der Kreises K und außerhalb des Kreises L liegen. Wegen 0 < s < 2 schneiden sich K und L in den Punkten p1 = 12s+i
q
1−(12s)2 und p2 = 12s−i
q
1−(12s)2. Sei Gk die Tangente des Kreises L im Punkt pk, k= 1,2.G1 und G2 schneiden sich im Punkt s− 2s ∈R.
• Falls nun 1 < s < 2, so ist z0 :=s− 2s ∈ M, und M ist sternf¨ormig um z0, wie man anhand einer Skizze sofort erkennt.
• Falls 0 < s ≤ 1, so ist M nicht sternf¨ormig, denn: Angenommen, M ist sternf¨ormig um z0 ∈ M. Damit die Verbindungsstrecken von z0 zu den Punkten z ∈ M in der N¨ahe von p1 noch komplett innerhalb M liegen, darf z0 nicht unterhalb von g1 liegen. Analog darf z0 nicht oberhalb von g2 liegen. Es folgt Re(z0)≤s− 2s ≤ −1. Widerspruch!
