Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
SS 2010 30. April 2010
Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨
Blatt 2
Aufgabe 5
Sei α >0 eine positive reelle Zahl und c00:= 0, ck` := (−1)k
(k+`)α f¨ur (k, `)∈N×N r{(0,0)}.
a) F¨ur welcheαsind die Voraussetzungen des Weierstraßschen Doppelreihensatzes erf¨ullt?
b) F¨ur welche α konvergieren die Reihen (i)
∞
X
k=0
∞
X
`=0
ck`, (ii)
∞
X
`=0
∞
X
k=0
ck`, (iii)
∞
X
n=0
X
k+`=n
ck`.
Aufgabe 6
Man betrachte die durch die Sinus-Funktion gegebene Abbildung sin :C→C. a) Man beschreibe die Bilder der Geraden (mit Skizze!)
La :={a+it:t ∈R}, a∈R fest.
b) Man zeige: Die Funktion sin bildet die Menge G:={z ∈C:|Re(z)|< π/2}
bijektiv auf die Menge G1 :=C r{x∈R:|x|>1} ab. Die abgeschlossene H¨ulle G={z ∈C:|Re(z)|6π/2}
wird durch sin surjektiv auf C abgebildet.
Aufgabe 7
Sei f :C∗ →C die Funktion f(z) :=z2sin
1 z
.
Man zeige: Es gibt Folgenaν, bν ∈C∗ mit lim
ν→∞aν = lim
ν→∞bν = 0 und
ν→∞lim |f(aν)|=∞, lim
ν→∞f(bν) =i.
Man gebe solche Folgen m¨oglichst explizit an.
b.w.
Aufgabe 8 Sei
1 cosz =
∞
X
n=0
cnzn
die Potenzreihen-Entwicklung von 1/cosz um den Nullpunkt. Man zeige:
a) Es giltcn = 0 f¨ur alle ungeradenn.
b) Die ZahlenEn :=n!cn liegen in Z. c) Man berechne E2k f¨ur 06k 65.
Abgabetermin:Freitag, 7. Mai 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock
