Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
SS 2010 7. Mai 2010
Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨
Blatt 3
Aufgabe 9
a) Gegeben seien die beiden Potenzreihen f(z) := 1 + 2
∞
X
n=1
zn und g(z) := 1 + 2
∞
X
n=1
(−1)nzn
Man bilde das Cauchy-Produkt der beiden Potenzreihen. Welche Konvergenz-Radien haben die Reihen f, g und f g ?
b)∗ Man gebe eine Potenzreihe f(z) = P∞
n=0anzn mit Konvergenz-Radius 1 an, so dass das Cauchy-Produkt vonf mit sich selbst,
f(z)2 =
∞
X
n=0
cnzn
den Konvergenz-Radius ∞hat.
Aufgabe 10 Sei f(z) =
∞
X
n=1
anzn eine Potenzreihe mit positivem Konvergenz-Radius und
f(z)3 =
∞
X
n=3
cnzn
Man berechnec3, c4, c5, c6 als Funktionen der an. Aufgabe 11
a) Man entwickle den Hauptzweig des Logarithmus um den Punkt 1 +iin eine Potenzreihe (∗) Log(z) =
∞
X
n=0
cn(z−(1 +i))n
b) Man zeige, dass der Punktz = 1 im Innern des Konvergenzkreises der Reihe (∗) liegt.
Aus der Darstellung von Log(1) = 0 durch die Reihe (∗) leite man Formeln f¨ur log(2) bzw.
π/4 her.
b.w.
Aufgabe 12 Sei f(z) =
∞
X
n=0
cnzn eine Potenzreihe mit Konvergenz-RadiusR > 0.
Man zeige: F¨ur alle 0 < r < R gilt 1
2π Z 2π
0
|f(reit)|2dt=
∞
X
n=0
|cn|2r2n 6M(r)2, wobeiM(r) := sup{|f(z)|:|z|=r}.
Abgabetermin:Freitag, 14. Mai 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.
