Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2009/10 6. Nov. 2009
Algorithmische Zahlentheorie II
Ubungsblatt 2¨
Aufgabe 5
a) Es seiE die elliptische Kurve ¨uber dem K¨orper F5 mit der affinen Gleichung Y2 =X3+ 3X.
Man zeige, dass die GruppeE(F5) aus 10 Elementen besteht.
b)∗ Welches sind die m¨oglichen Ordnungen einer elliptischen Kurve ¨uber dem K¨orper F5 ? Man gebe f¨ur jeden Fall ein Beispiel an. Man bestimme die Struktur der jeweiligen abelschen Gruppe (zyklisch oder Produkt zyklischen Gruppen).
Aufgabe 6
Sei p≡1 mod 4 eine Primzahl und seien
E1 :Y2 =X3+X+a und E2 :Y2 =X3+X−a zwei elliptische Kurven ¨uberFp.
Man beweise, dass die Gruppen E1(Fp) and E2(Fp) isomorph sind.
Hinweis.Man benutze, dass −1 ein Quadrat in Fp ist.
Aufgabe 7
Sei E eine elliptische Kurve ¨uber einem endlichen K¨orper der Charakteristik 6= 2 mit der affinen Gleichung
Y2 =P(X),
wobeiP(X)∈K[X] ein Polynom 3. Grades ohne mehrfache Nullstellen ist. Man zeige:
a) Besitzt das PolynomP(X) (mindestens) eine Nullstelle im K¨orperK, so hat die Gruppe E(K) gerade Ordnung.
b) Hat P(X) drei Nullstellen im K¨orper K, so ist die Gruppe E(K) nicht zyklisch.
Aufgabe 8
SeiK ein K¨orper der Charakteristik6= 2 undE ⊂P2(K) die Kurve 3. Ordnung mit affiner Geichung y2 =x3 und unendlich-fernem Punkt O= (0 : 0 : 1). Sei S ∈ E der (singul¨are) Punkt mit affinen Koordinaten (0,0) und Ereg :=Er{S}.
b.w.
Man beweise:
a) Die Abbildungφ :K →Ereg,
t 7→φ(t) :=
(t−2, t−3) f¨urt 6= 0, O f¨urt = 0 ist bijektiv.
Verm¨ogeφwerde die Struktur der additiven Gruppe (K,+) aufEregubertragen; dabei wird¨ der PunktO das neutrale Element. Die Verkn¨upfung aufEreg werde mit ⊕ bezeichnet.
b) Schneidet eine Gerade ` ⊂ P2(K), die nicht durch den Punkt S geht, die Kurve E in drei PunktenP1, P2, P3, wobei jeder Punkt so oft aufgez¨ahlt wird, wie seiner Vielfachheit entspricht, so gilt P1⊕P2⊕P3 =O.
Abgabetermin:Mittwoch, 18. November 2009, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock
Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte
