Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2009/10 18. Dez. 2009
Algorithmische Zahlentheorie II
Ubungsblatt 5¨
Aufgabe 17
Man zerlege die Zahl z := 1000 +i im RingZ[i] in seine Primfaktoren.
Hinweis.Man faktorisiere zuerst N(z)∈Z.
Aufgabe 18
a) SeiRder Ganzheitsring eines quadratischen Zahlk¨orpers. Man zeige: Ein Elementu∈R ist genau dann Einheit (d.h. invertierbar in R), falls N(u) =±1.
b) Man zeige: Das Element u0 := 1 +√
2 ist eine Einheit im Ring Z[√
2] und jede andere Einheitu∈Z[√
2] hat die Gestalt u=±un0 mit n ∈Z.
Aufgabe 19
SeiRder Ganzheitsring des quadratischen Zahlk¨orpersK :=Q(√
d), (d6= 0,1 quadratfrei).
Der RingRheißtnorm-euklidisch, wenn es zu je zwei Elementenx, y ∈R, y6= 0, Elemente q, r∈R gibt mit
x=qy+r und |N(r)|<|N(y)|.
Ein solcher Ring ist bekanntlich ein Hauptideal-Ring und faktoriell.
a) Man zeige: R ist genau dann norm-euklidisch, wenn es zu jedemξ ∈ K ein x∈ R gibt mit |N(ξ−x)|<1.
b) Man beweise: F¨ur d=−1,−2,−3,−7 ist R norm-euklidisch.
c) Im RingZ[√
−2] bestimme man den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der Elemente x:= 41 und y:= 30 +√
−2.
Aufgabe 20
a) Man beweise: Die Zahl 5 ist im Ring Z[√
−6] irreduzibel, aber nicht prim (also ist Z[√
−6] nicht faktoriell).
b)∗ Man zeige: Die rationale Primzahl p= (1019−1)/9 = 1111 11111 11111 11111 zerf¨allt inZ[√
−6] in das Produkt von zwei Primelementen π1, π2. Man bestimme diese.
Abgabetermin:Mittwoch, 13. Januar 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock
