Algorithmische Zahlentheorie II

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

WS 2009/10 20. Nov. 2009

Algorithmische Zahlentheorie II

Ubungsblatt 3¨

Aufgabe 9

Man zeige: Das 5-te Kreisteilungs-Polynom Φ₅(X) =X⁴ +X³+X²+X+ 1

zerf¨allt ¨uber dem K¨orper F11 vollst¨andig in Linearfaktoren. Man f¨uhre diese Zerlegung durch.

Aufgabe 10

Der K¨orper F19² werde dargestellt als F19² = F19[i], wobei i eine Wurzel des ¨uber F19

irreduziblen PolynomsX²+ 1 sei (es gilt bekanntlich (⁻¹₁₉) = −1).

a) Man zeige:F19² enth¨alt eine primitive 5-te Einheitswurzel ω. Man gebe ω explizit an.

b) Man bestimme ein quadratisches PolynomQ(X)∈F¹⁹[X] mit Q(ω) = 0.

c) Man zerlege Φ₅(X) in irreduzible Faktoren ¨uber dem K¨orper F19. Aufgabe 11

Seienn, m positive ganze Zahlen undd:= gcd(n, m). Man zeige:

a) Im PolynomringK[X] ¨uber einem K¨orper K gilt gcd(Xⁿ−1, X^m−1) = X^d−1.

b) F¨ur jede ganze Zahl a >1 gilt gcd(aⁿ−1, a^m−1) =a^d−1.

Aufgabe 12

SeienN, r >1 ganze Zahlen und es gelte

(X+a)^N ≡X^N +amod (N, X^r−1) f¨ur a= 1,2, . . . , A.

a) Man zeige: Dann gilt auch

a^N ≡amodN f¨ur a= 1,2, . . . , A+ 1.

b) Welches ist die kleinste Nicht-PrimzahlN >1, so dass (]) a^N ≡amodN f¨ur a= 2,3.

c)^∗∗ Welches ist das kleinste Primzahl-Quadrat N =p², so dass (]) gilt?

Abgabetermin:Mittwoch, 2. Dezember 2009, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock