Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2009/10 5. Februar 2010
Algorithmische Zahlentheorie II
Klausur
Aufgabe 1 Gegeben sei die elliptische Kurve E uber dem K¨¨ orper F5 mit der affinen Gleichung
y2 =x3+ 3x.
a) Man bestimme die Anzahl der Punkte vonE(F5).
b) Ist die GruppeE(F5) zyklisch?
Aufgabe 2
Man beweise: Eine ganze ZahlN >1 ist genau dann prim, wenn (X+ 1)N ≡XN + 1 modN.
(Dies ist als eine Gleichung im Polynomring (Z/N)[X] aufzufassen.) Aufgabe 3
Man untersuche das Verhalten der Primzahlen p = 2,3,31,41∈ Z im (bekanntlich fakto- riellen) RingR :=Z[√
−2]. Welche verzweigen, spalten, bzw. sind tr¨age?
F¨ur die nicht tr¨agen unter diesen p gebe man die Primfaktorzerlegung inR an.
Aufgabe 4 Gegeben seien die beiden Gitter Λ1,Λ2 ⊂C: Λ1 :=Z+Zi√
5, Λ2 :=Z·3 +Z(1 +i√ 5).
a) Man gebe eine Isogenieα:C/Λ1 →C/Λ2 an.
b) Man zeige: Es gibt keine Isomorphieφ :C/Λ1 →C/Λ2.
Alle 4 Aufgaben sollen bearbeitet werden.
Arbeitszeit: 60 Minuten.
