Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

SS 2010 23. April 2010

Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Blatt 1

Aufgabe 1 Man bestimme die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen f(z) =

∞

X

n=1

zⁿ

n² und g(z) =

∞

X

n=0

zⁿ².

In welchen Punkten des Randes des Konvergenzkreises konvergieren die Reihen?

Aufgabe 2

a) Man bestimme die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen f(z) =

∞

X

n=1

1 + 1

n n²

zⁿ und g(z) =

∞

X

n=1

1 + 1

n n²

zⁿ²

Hinweis.Man verwende die Formel e= lim

n→∞

1 + 1

n n

. b)^∗ Man bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

h(z) =

∞

X

n=0

(cosn)zⁿ

Aufgabe 3 Seien f(z) = P∞

n=0a_nzⁿ und g(z) = P∞

n=0b_nzⁿ zwei Potenzreihen mit Konvergenzradien r1 bzw. r2. Der Konvergenzradius der Summen-Reihe

h(z) := f(z) +g(z) =

∞

X

n=0

(a_n+b_n)zⁿ werde mitr bezeichnet. Man zeige:

a) In jedem Fall gilt r>min(r₁, r₂).

b) Fallsr1 6=r2, gilt r= min(r1, r2).

c) Man zeige an Beispielen, dass im Fall r₁ = r₂ < ∞ sowohl r > r₁ als auch r = r₁ vorkommen kann.

b.w.

Aufgabe 4

a) Man entwickle die Funktion f(z) = z

1−z−z²

um den Nullpunkt in eine Potenzreihe P∞

n=0cnzⁿ, indem manf(z) als Summe von Parti- albr¨uchen darstelle.

b) Was ist der Konvergenzradius der PotenzreiheP∞

n=0c_nzⁿ ?

c) Man zeige: Die Koeffizientencnsind gleich den Fibonacci-Zahlen fib(n), die rekursiv wie folgt definiert sind:

fib(0) = 0, fib(1) = 1 und fib(n+ 1) = fib(n) + fib(n−1) f¨ur alle n >1.

Abgabetermin:Freitag, 30. April 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.