Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“

MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006

DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 3

P. Schauenburg L¨osungen

Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“

11. a) Zum Beispiel T(x+iy) := 2x+iy. Dann ist ^(T(1−i), T(1 +i)) =

^(2−i,2 +i)6= ^π₂.

b) Schreibe c:=a+bi. Da T R-linear ist, ist T(c) =aT(1) +bT(i) und T(ic) = −bT(1) +aT(i). Wegen^(T(1), T(i)) = ^π₂ ist Re(T(1)T(i)) = 0, und wegen ^(T(c), T(ic)) = ^π₂ ist

0 = Re(T(c)T(ic)) = Re((aT(1) +bT(i))(−bT(1) +aT(i))) =

= Re(−abT(1)T(1) +a²T(1)T(i)−b²T(i)T(1) +abT(i)T(i)) =

=ab(|T(i)|²− |T(1)|²) + (a²−b²) Re(T(1)T(i))

| {z }

=0

=⇒ |T(i)|² =|T(1)|² =⇒ |T(i)|=|T(1)|.

Also ist entwederT(i) =iT(1) oderT(i) = −iT(1), und es ist entweder T(z) =T(1)·z f¨ur alle z ∈ C oder T(z) =T(1)·z¯f¨ur alle z ∈ C. In jedem Fall ist T winkeltreu.

12. a) Es sei ˆfA(z) := fA(z) f¨ur alle z ∈ D. Falls c 6= 0, so sei ˆfA(∞) := ^a_c und ˆfA(−^d_c) :=∞. Falls c= 0, so sei ˆfA(∞) :=∞.

b) Fallsc6= 0, so ist ˆf_A= ˆσ^a_c ◦ρˆ_b−^ad

c ◦τˆ◦σˆ_d◦ρˆ_c. Falls c= 0, so ist d6= 0 und ˆfA = ˆσ^b

d ◦ρˆ^a_d. 13. a) FallsA 6= 0, so gilt die ¨Aquivalenz

A|z|²+ Re(wz) +B = 0

⇐⇒ |z|²+ Re(w

A ·z) + B A = 0

⇐⇒ zz¯+ w

2A ·z+ w

2A ·z+B A = 0

⇐⇒ zz¯+ w

2A ·z+ w¯

2A ·z¯+ ww¯

4A² = ww¯ 4A² − B

A

⇐⇒

³ z+ w¯

2A

´ ³

¯ z+ w

2A

´

= |w|² 4A² − B

A

⇐⇒

¯¯

¯z−

³

− w¯ 2A

´¯¯

¯² = µ|w|

2A

¶₂

− B A,

also beschreibt K einen Kreis um −_2A^w¯ mit Radius

r³|w|

2A

´₂

− ^B_A. Falls A = 0, so stellt Re(wz) +B = 0 ⇐⇒ hw, zi −¯ (−B) = 0 eine Gerade (mit Normalenvektor ¯w) dar.

b) Falls K ={z ∈ C | |z −z0| = r} ein Kreis ist, z0 ∈ C, r > 0, so sei A:= 1, w:=−2¯z₀ und B :=|z₀|²−r².

Falls K ={z ∈C | hn, zi −c= 0}eine Gerade ist,n ∈C\ {0},c∈R, so sei A:= 0, w:= ¯n und B :=−c.

In beiden F¨allen gilt |w|² >4AB.

14. Nach Aufgabe 12 b) reicht es zu zeigen, dass die Abbildungen ˆρ_s, ˆσ_t und ˆτ aus Aufgabe 12 Kreise in ¯C auf Kreise in ¯C abbilden. Das ist offenbar der Fall f¨ur die Drehstreckung ˆρs und die Verschiebung ˆσt. Es bleibt zu zeigen, dass auch die Inversion ˆτ Kreise in ¯C auf Kreise in ¯C abbildet.

Sei alsoKein Kreis in ¯C. Nach Aufgabe 13 b) gelten f¨ur geeigneteA, B ∈R und w∈C mit |w|² >4AB folgende ¨Aquivalenzen:

i. ∀z ∈C\ {0}: (z ∈K ⇐⇒ A|z|²+ Re(wz) +B = 0), ii. 0∈K ⇐⇒ B = 0,

iii. ∞ ∈K ⇐⇒ A= 0.

Daraus folgt aber:

i. ∀z ∈C\ {0}: (z ∈τ(K)ˆ ⇐⇒ ¹_z ∈K ⇐⇒ A|¹_z|²+ Re(^w_z) + B = 0 ⇐⇒ A+ Re(wz) +B|z|² = 0),

ii. 0∈τ(Kˆ ) ⇐⇒ A= 0, iii. ∞ ∈τˆ(K) ⇐⇒ B = 0.

Aus Aufgabe 13 a) folgt (mit vertauschten Rollen f¨ur Aund B), dass ˆτ(K) wieder ein Kreis in ¯C ist.

15. a) Die zugrunde liegende Kurve ist γ : [0,2π]→C, t7→rexp(it).

Z

∂M

¯ zdz =

Z2π

0

rexp(it)·irexp(it)dt=ir² Z2π

0

dt= 2πir².

b) M ist ein Quadrat mit den Ecken (1 +i)i^k, k= 0,1,2,3. Die zugrunde liegende Kurve setzt sich daher aus den Teilkurven γ0, γ1, γ2 und γ3

zusammen, d. h.γ :=γ₀+γ₁+γ₂+γ₃, wobeiγ_k := [(1+i)i^k,(1+i)i^k+1], also γ_k : [0,1]→C, t 7→(1 +i)i^k−2i^kt.

Z

∂M

¯ zdz =

X3

k=0

Z1

0

((1−i)(−i)^k−2(−i)^kt)(−2i^k)dt

= 4· Z1

0

(−2 + 2i+ 4t)dt= 8i.

c) M ist ein Quadrat mit den Eckeni^k, k = 0,1,2,3.γ :=γ₀+γ₁+γ₂+γ₃, wobei γ_k := [i^k, i^k+1], also γ_k : [0,1]→C, t 7→i^k+i^k(i−1)t.

Z

∂M

¯ zdz =

X3

k=0

Z1

0

((−i)^k+ (−i)^k(−i−1)t)i^k(i−1)dt

= 4· Z1

0

(−1 +i+ 2t)dt= 4i.