Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

SS 2010 14. Mai 2010

Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Blatt 4

Aufgabe 13

Sei F :C→C definiert durch

F(z) := exp(exp(z)).

a) Man berechne Real- und Imagin¨arteil von F.

b) Man bestimme alle L¨osungen der Gleichung F(z) = 1.

Aufgabe 14

Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine nicht-konstante holomorphe Funktion. Der Betrag |f| nehme sein Minimum in einem Punkt z₀ ∈Gan.

Man zeige: f(z₀) = 0.

Aufgabe 15

Sei f :C→C eine ganze holomorphe Funktion. Es gebe Konstantenα, M, R ∈R⁺ mit

|f(z)|6M|z|^α f¨ur alle |z|>R.

Man zeige: f ist ein Polynom vom Grad d 6α.

Aufgabe 16

Sei G ⊂ C^∗ ein Gebiet und f : G→ C eine stetig komplex differenzierbare Funktion. Sei f(z) = u(z) +iv(z) die Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil. Polarkoordinaten r, ϕ seien eingef¨uhrt durch

z =x+iy=re^iϕ, r, ϕreell, r >0.

Man beweise:

∂u

∂r = 1 r

∂v

∂ϕ, ∂v

∂r =−1 r

∂u

∂ϕ.

Abgabetermin:Freitag, 21. Mai 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock