MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006
DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 2
P. Schauenburg L¨osungen
Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“
6. a) F¨ur z 6= 0 ist
∂f
∂z(z) = z¯
2|z|, ∂f
∂z¯(z) = z 2|z|. (Im Nullpunkt ist |z| nicht differenzierbar.)
b) F¨ur allez ∈C ist
∂f
∂z(z) =−1
2iz, ∂f
∂z¯(z) = 1 2i¯z.
7. a) Die Funktion sin(|z|2) ist bei z = x+iy ∈ C genau dann komplex differenzierbar, wenn
∂
∂z¯sin(|z|2) = 0
⇐⇒ 1 2
µ ∂
∂x +i ∂
∂y
¶
sin(x2+y2) = 0
⇐⇒ 1 2
¡cos(x2+y2)·2x+icos(x2+y2)·2y¢
= 0
⇐⇒ cos(|z|2)·z = 0
⇐⇒ z = 0∨ |z| ∈ (rπ
2, r3π
2 , r5π
2 , . . . )
.
b) Die Funktion z(z+ ¯z2) ist nur bei 0 komplex differenzierbar, denn
∂
∂z¯z(z+ ¯z2) = ∂
∂z¯z2+ ∂
∂z¯zz¯2 = 0 + 2zz¯= 2|z|2.
8. Mit f =u+iv gilt:
¯¯
¯¯∂f
∂z
¯¯
¯¯
2
−
¯¯
¯¯∂f
∂z¯
¯¯
¯¯
2
= ∂f
∂z
∂f¯
∂z¯ −∂f
∂z¯
∂f¯
∂z =
=1 2
µ∂f
∂x −i∂f
∂y
¶
· 1 2
µ∂f¯
∂x +i∂f¯
∂y
¶
− 1 2
µ∂f
∂x +i∂f
∂y
¶
· 1 2
µ∂f¯
∂x −i∂f¯
∂y
¶
=
=1 2i
µ∂f
∂x
∂f¯
∂y −∂f¯
∂x
∂f
∂y
¶
=
=1 2i
µµ∂u
∂x +i∂v
∂x
¶ µ∂u
∂y −i∂v
∂y
¶
− µ∂u
∂x −i∂v
∂x
¶ µ∂u
∂y +i∂v
∂y
¶¶
=
=∂u
∂x
∂v
∂y − ∂v
∂x
∂u
∂y = det(Df).
9. Angenommen, es gibt eine holomorphe Funktion f : C \ {0} → C mit f0(z) = 1z. Dann ist nach der Kettenregel
(f ◦exp)0(z) = f0(exp(z))·exp(z) = 1
exp(z) ·exp(z) = 1
f¨ur alle z ∈ C\ {0}. Die Ableitung der Funktion g(z) := f(exp(z))−z verschwindet daher, und g muss konstant sein. Daraus folgt, dass
0 = g(0)−g(2πi) = f(1)−(f(1)−2πi) = 2πi.
Widerspruch!
10. Die Cayley-Abbildung
h:H→E, z 7→ z−i z+i
ist holomorph und bijektiv (nach Vorlesung). Die Komposition ihrer Um- kehrung
h−1 :E→H, z 7→i· 1 +z 1−z mit der Funktion z 7→ −z2 ergibt die gesuchte Funktion:
f :E7→C−, z7→
µ1 +z 1−z
¶2
