MATHEMATISCHES INSTITUT SS 2006
DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Blatt 5
P. Schauenburg
Ubungen zur Vorlesung ¨ ” Funktionentheorie“
21. Sei D ∈ C offen, a ∈ D und ε > 0, so dass Bε(a) ⊂ D. Die holo- morphe Funktion f : D → C habe in a eine einfache Nullstelle (d. h.
f(a) = 0, f0(a)6= 0) und ansonsten keine weitere Nullstelle inBε(a). Zeige:
Z
∂Bε(a)
1
f(z)dz = 2πi f0(a).
Hinweis: Es gibt eine holomorphe Funktion f1 :D7→C mit f(z) = f(a)
|{z}
=0
+(z−a)f1(z)
f¨ur alle z ∈D. Finde c∈C und q :D→C holomorph, so dass 1
f(z) = c
z−a + q(z) f1(z) f¨ur alle z ∈Bε(a)\ {a}.
22. Sei f :C →C, z 7→z3+ 1 gegeben.
a) Bestimme alle Nullstellen von f und gib sie in der Form x+yi an.
b) W¨ahle eine Nullstelle z0 von f und berechne (mit Hilfe von Aufgabe
21) Z
∂Bε(z0)
1 f(z)dz,
wobei ε >0 so klein ist, dassz0 die einzige Nullstelle von f ist, die in Bε(z0) liegt. Gib das Ergebnis wieder in der Form x+yi an.
23. Seien f und z0 wie in Aufgabe 22.
a) Definiere eine geschlossene Kurveγ =γ1⊕γ2⊕γ3, die am Rand eines (f¨ur die restliche Aufgabe geeigneten) Sektors des Kreises um 0 mit Radiusr >1 verl¨auft. Dabei soll γ2 das gebogene Teilst¨uck der Kurve sein. z0 soll innerhalb, die anderen Nullstellen von f außerhalb des Sektors liegen.
b) Zeige, dass
r→∞lim
¯¯
¯¯
¯¯ Z
γ2
1 f(z)dz
¯¯
¯¯
¯¯= 0.
24. Seien f, z0, ε und γ wie in Aufgabe 22 bzw. 23. Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass
Z
γ
1
f(z)dz = Z
∂Bε(z0)
1 f(z)dz.
a) Dr¨ucke lim
r→∞
R
γ 1
f(z)dz durch R∞
0 1
t3+1dt aus.
b) Berechne R∞
0 1 t3+1dt.
25. Sei r >0,U ⊂C offen, so dass Br(0)⊂U, und f :U →C holomorph.
Leite aus der Schwarz’schen Integralformel f(z) = 1
2πi Z
∂Br(0)
Re(f(ζ)) ζ
ζ+z
ζ−zdζ+ Im(f(0))i, z ∈Br(0) die Poisson’sche Integralformel
u(scosϕ+issinϕ) =
= 1 2π
Z2π
0
u(rcosψ+irsinψ) r2−s2
r2−2rscos(ψ−ϕ) +s2dψ her, wobei u= Re(f) und 0≤s < r.
Abgabe:Donnerstag, den 8. Juni 2006, 1115 Uhr (K¨asten vor der Bibliothek)
