Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math. C. Niebuhr
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2015/16 — ¨Ubung 9 — 15.12.2015 Abgabe: 12.01.2016
Aufgabe 19(L2-Projektion) (4 Punkte)
Es sei S eine konforme und nicht degenerierte Triangulierung von Ω ⊂ Rd und Xh = {vh ∈ L2(Ω) : vh|S˚∈Pk(˚S)f¨ur alle S ∈ S}.
Zeigen Sie: Zu jedemu∈L2(Ω)gibt es genau einuh∈Xh, so dass ku−uhkL2(Ω)= inf
vh∈Xh
ku−vhkL2(Ω)
gilt.uh ist die eindeutige L¨osung vonR
Ωuhϕh=R
Ωuϕh ∀ϕh ∈Xh.Außerdem gibt es einc >0 so dass f¨uru∈H1(Ω)gilt:
ku−uhkL2(Ω)≤c h(S)kukH1(Ω) mit h(S) = max
S∈S h(S).
Programmieraufgabe 4 (8 Punkte)
Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 3 auf die Finite-Elemente-Methode mit P2-Elementen in 1D zur L¨osung des Problems
−ε u00+b u0=f in Ω = (A, B), u=g auf ∂Ω mitε >0.
a) Zu den Werten in den Intervallteilungspunktenxi kommen die Werte in den Intervallmittel- punkten (xi+xi+1)/2als Freiheitsgrade (und Unbekannte) dazu.
F¨ur Integrale wieR
Ikϕi(x)f(x)dxben¨otigen Sie jetzt typischerweise bessere Quadraturfor- meln als bei der P1-Methode.
b) Testen Sie das Programm wieder durch Anwendung auf das Problem mit ε= 1 und b= 0 auf dem Einheitsintervall(0,1)mit exakter L¨osungu(x) =sin(x), mit N=5, 9, 17, 33, 65, 129 und xi= (i−1)/(N−1).
Welche Konvergenzrate beobachten Sie f¨urku−uhkL2(Ω)? Welche f¨urku0−u0hkL2(Ω)? c) Berechnen Sie die L¨osung des Advektionsproblems mit b = 1, ε = 1,0.1,0.01,0.001 und
f = 0auf dem Intervall(0,2)mit Dirichlet-Randwertenu(0) = 1,u(2) = 0. Wie fein muss das Gitter jeweils mindestens sein, damit die L¨osung ‘vern¨unftig’ aussieht?
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Frohe Weihnachten
und alles Gute und viel Erfolg f¨urs neue Jahr!
