Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dipl.Math.techn. M. Jahn
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2014/15 — ¨Ubung 9 — 16.12.2014 Abgabe: 06.01.2015
Aufgabe 18 (6 Punkte)
a) Sei Iˆ = [0,1] der 1-dimensionale Einheitssimplex mit baryzentrischen Koordinaten λˆ0(ˆx),λˆ1(ˆx). Sei weiter α0, α1 ∈N0. Zeigen Sie, dass dann gilt
Z
ˆ I
λ0(ˆx)α0λ1(ˆx)α1dˆx= α0!α1! (α0+α1+ 1)!. Tip: Partielle Integration.
b) SeiSein Simplex imRdmit baryzentrischen Koordinatenλ0(x), . . . , λd(x). Zeigen Sie, dass f¨ur α∈Nd+1
0 Z
S
λα(x)dx= α!d!
(|α|+d)!|S|
gilt. Dabei ist λα=λα00 ·. . .·λαdd,|α|=α0+. . .+αd und α! =α0!·. . .·αd!.
Tipp: Induktion ¨uber d.
Programmieraufgabe 4 (8 Punkte)
Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 3 auf die Finite-Elemente-Methode mit P2-Elementen in 1D zur L¨osung des Problems
−ε u′′+b u′=f in Ω = (A, B), u=g auf ∂Ω mitε >0.
a) Zu den Werten in den Intervallteilungspunktenxi kommen die Werte in den Intervallmittel- punkten (xi+xi+1)/2 als Freiheitsgrade (und Unbekannte) dazu.
F¨ur Integrale wieR
Ikϕi(x)f(x)dxben¨otigen Sie jetzt typischerweise bessere Quadraturfor- meln als bei der P1-Methode.
b) Testen Sie das Programm wieder durch Anwendung auf das Problem mit ε= 1 und b= 0 auf dem Einheitsintervall(0,1) mit exakter L¨osungu(x) =sin(x), mit N=5, 9, 17, 33, 65, 129 und xi= (i−1)/(N −1).
Welche Konvergenzrate beobachten Sie f¨ur ku−uhkL2(Ω)? Welche f¨ur ku′−u′hkL2(Ω)? c) Berechnen Sie die L¨osung des Advektionsproblems mit b = 1, ε = 1,0.1,0.01,0.001 und
f = 0auf dem Intervall(0,2) mit Dirichlet-Randwertenu(0) = 1,u(2) = 0. Wie fein muss das Gitter jeweils mindestens sein, damit die L¨osung ‘vern¨unftig’ aussieht?
Frohe Weihnachten
und alles Gute und viel Erfolg f¨urs neue Jahr!
