Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dr. J. Montalvo Urquizo
Numerik partieller Differentialgleichungen
WS 2011/12 — ¨Ubung 9 — 17.01.2012 Abgabe: 24.01.2012
Aufgabe 18 (L2-Projektion) (4 Punkte)
Es sei S eine konforme und nicht degenerierte Triangulierung von Ω ⊂ Rd und Xh = {vh ∈ L2(Ω) : vh|S˚∈Pk(˚S)f¨ur alleS ∈ S}.
Zeigen Sie: Zu jedem u∈L2(Ω)gibt es genau einuh∈Xh, so dass ku−uhkL2(Ω) = inf
vh∈Xh
ku−vhkL2(Ω)
gilt.uh ist die eindeutige L¨osung von Z
Ω
uhϕh = Z
Ω
uϕh ∀ϕh ∈Xh.
Außerdem gibt es ein c >0so dass f¨ur u∈H1(Ω)gilt:
ku−uhkL2(Ω) ≤c h(S)kukH1(Ω)
mit h(S) = max
S∈S h(S).
Zum diskreten Maximumprinzip f¨ur lineare Finite Elemente Funktionen
Aufgabe 19 (4 Punkte)
Sei Ω ⊂ R2 zul¨assig trianguliert durch S und (ϕi)i=1,...,N die Knotenbasis zu den st¨uckweise linearen Finiten Elementen auf S. Zeigen Sie: Wenn gelten soll
Z
Ω
∇ϕi∇ϕj ≤0 ∀i6=j
dann muss die TriangulierungS schwach spitzsein, d.h. f¨ur je zwei benachbarte DreieckeS1, S2 ∈ S mit gemeinsamer Kante E =S1∩S2 darf die Summe der beiden Winkel in S1, S2 gegen¨uber E nicht gr¨oßer als180◦ sein.
Links: schwach spitze Triangulierung, rechts: nicht schwach spitz
bitte wenden
Programmieraufgabe 4 (8 Punkte) Erweitern Sie das Programm aus Programmieraufgabe 3 auf die Finite-Elemente-Methode mit P2-Elementen in 1D zur L¨osung des Problems
−ε u′′+b u′=f in Ω = (A, B), u=g auf ∂Ω mitε >0.
a) Zu den Werten in den Intervallteilungspunktenxi kommen die Werte in den Intervallmittel- punkten (xi+xi+1)/2 als Freiheitsgrade (und Unbekannte) dazu.
F¨ur Integrale wieR
Ikϕi(x)f(x)dxben¨otigen Sie jetzt typischerweise bessere Quadraturfor- meln als bei der P1-Methode.
b) Testen Sie das Programm wieder durch Anwendung auf das Problem mit ε= 1 und b= 0 auf dem Einheitsintervall(0,1) mit exakter L¨osungu(x) =sin(x), mit N=5, 9, 17, 33, 65, 129 und xi= (i−1)/(N −1).
Welche Konvergenzrate beobachten Sie f¨urku−uhkL2(Ω)? Welche f¨ur ku′−u′hkL2(Ω)? c) Berechnen Sie die L¨osung des Advektionsproblems mit b = 1, ε = 1,0.1,0.01,0.001 und
f = 0auf dem Intervall(0,2) mit Dirichlet-Randwertenu(0) = 1,u(2) = 0. Wie fein muss das Gitter jeweils mindestens sein, damit die L¨osung ‘vern¨unftig’ aussieht?
