Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 07 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. (Diagonalisierbarkeit von Matrizen. 4 Punkte.) Sei
A:=
2 3 2 0 4 1 0 4 4 3 3 3 1 2 3 3
∈F4×45 .
Uberpr¨¨ ufe, ob A diagonalisierbar ist, und bestimme gegebenenfalls eine invertierbare Ma- trix T so, dass T−1AT eine Diagonalmatrix ist. Bestimme außerdem µA und χA.
Aufgabe 2. (Freier Modul. 4 Punkte.)
1. Sei M := Z1/2Z1 ⊕ Z1/3Z1. Bestimme einen Z-Teilmodul N ≤ FrZ(2) so, dass M ∼= FrZ(2)/N und gib den Z-Modulisomorphismus explizit an.
2. Gib einen Z-Modulhomomorphismus FrZ(2) →M an, welcher N als Kern hat.
3. Gib einen Z-Modulepimorphismus von FrZ(1)→M an.
4. Folgere, dass M ∼=Z1/6Z1.
Aufgabe 3. (Induzierte Homomorphismen. 4 Punkte.)
1. Sei R ein Ring, M1 und M2 R-Moduln, T1 ≤ M1 und T2 ≤ M2 R-Teilmoduln und ϕ:M1 →M2 ein R-Modulhomomorphismus. Zeige, dass
ϕ:M1/T1 →M2/T2, m7→ϕ(m)
genau dann ein wohldefinierterR-Modulhomomorphismus ist, wennϕ(T1)⊂T2. 2. Seien m, n ∈ Z. Beschreibe alle Z-Modulhomomorphismen ϕ : Z1 → Z1, so dass
ϕ:Z1/mZ1 →Z1/nZ1 wohldefiniert ist.
Aufgabe 4. (Ringe. 4 Punkte.)
1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Zeige: Es existiert genau ein Ringhomomorphis- mus Z→R. Folgere, dass R eine Z-Algebra ist.
2. Sei K ein K¨orper undA∈Kn×n eine Matrix mit Minimalpolynom µA. Zeige: Es ist K[A]∼=K[x]/hµAi.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 01.06.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
