Lineare Algebra II - SS 2016

Lineare Algebra II - SS 2016

Ubungsblatt 03 ¨

Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur

Aufgabe 1. ( ¨Aquivalenzrelation, Partition, surjektive Abbildung. 4 Punkte.) In dieser Aufgabe untersuchen wir den Zusammenhang zwischen ¨Aquivalenzrelationen, Partitionen und surjektiven Abbildungen. Dabei beweisen wir den Homomorphiesatz f¨ur Mengen.

Es seiM eine Menge. Wir bezeichnen mit Pot(M) die Potenzmenge vonM. Eine Teilmenge P ⊆Pot(M) heißt Partition von M, falls

1. ∅ 6∈P,

2. f¨ur alle A, B ∈P gilt: A=B oderA∩B =∅, 3. S

A∈PA =M.

F¨ur eine ¨Aquivalenzrelation∼ aufM bezeichnen wir die Menge der ¨Aquivalenzklassen mit M/∼. Die zu m∈M geh¨orige ¨Aquivalenzklasse bezeichnen wir mit [m]∼. Zeige:

1. Gegeben eine ¨Aquivalenzrelation∼ aufM. Dann ist M/∼ eine Partition vonM. Sei umgekehrt P eine Partition von M. Dann definiert

m∼_P m⁰ :⇐⇒ ∃A∈P :m, m⁰ ∈A

eine ¨Aquivalenzrelation auf M mit m, m⁰ ∈M. Es gilt P =M/∼P und ∼ =∼M/∼. 2. Es sei f :M →N eine Abbildung zwischen Mengen M, N. Dann definiert

m ∼_f m⁰ :⇐⇒f(m) =f(m⁰)

eine ¨Aquivalenzrelation auf M, genannt Bildgleichheit. M/∼_f ist dabei dieje- nige Menge, die alle nicht leeren Fasern von f enth¨alt. Sei umgekehrt ∼ eine Aquivalenzrelation auf¨ M. Dann ist

ν∼ :M →M/∼: m7→[m]∼

eine surjektive Abbildung. Es gilt ∼ = ∼_ν∼. Wir definieren ν_f :=ν∼_f.

3. (Homomorphiesatz f¨ur Mengen): Es sei f : M → N eine Abbildung zwischen Mengen M, N. Dann ist die Abbildung

f :M/∼_f→N : [m]_∼f 7→f(m) wohldefiniert und injektiv. Die Abbildung f faktorisiert als

f =f◦ν_f.

Lineare Algebra II - SS 2016

4. Ist f :M →N surjektiv, so existiert genau eine bijektive Abbildung g :M/∼_f→ N mit f =g◦νf.

Aufgabe 2. (Lagrange-Interpolation. 4 Punkte.)

1. Sei K ein K¨orper unda₁, ..., a_n ∈K beliebige Elemente und s₁, ..., s_n∈K paarweise verschieden. Zeige: Es existiert genau einp∈K[x]_Grad<nmitp(s_i) =a_if¨uri= 1, ..., n.

(Hinweis: Setzeq := (x−s₁)· · ·(x−s_n) und betrachte _x−s^q

i)

2. Gegeben seien die Tupel s = (0,1,2,3)∈F⁴5 und a= (2,3,2,1)∈ F⁴5. Bestimme ein Polynomp∈F⁵[x]_Grad<4 mit p(s_i) = a_i f¨ur i= 1, . . . ,4.

3. Es sei

:K[x]→K^K :p7→f_p

die Abbildung aus Bemerkung 1.15.5, die einem Polynom ihre Polynomfunktion zu- ordnet. Bestimme Kern() in Abh¨angigkeit vonK. Hinweis: Was f¨ur Nullstellen muss ein Polynom aus Kern() haben?

4. F¨ur welche K¨orper K ist ein Epimorphismus? Faktorisiere f¨ur diese F¨alle gem¨aß dem Homomorphiesatz und gib eine lineare Rechtsinverse von an.

Aufgabe 3. (Irreduzible Polynome. 8 Punkte.)

1. Bestimme alle irreduziblen normierten Polynome in F2[x] von Grad ≤4.

2. Konstruiere K¨orper mit 4,8 und 16 Elementen.

3. Seip:=x³+x+ 1. Zeige, dassF8 :=F2[x]/pF2[x] ein K¨orper mit 8 Elementen ist und zeige, dass die Abbildung ϕ : F8 → F8, α 7→ α² ein F2-Algebrenhomomorphismus ist.

4. Wir setzen x := x+ pF2[x] ∈ F8, wobei p das Polynom aus Aufgabenteil 3 ist.

Berechne einen Standardvertreter von (x²+x+ 1)⁻¹ ∈F8, d.h. ein σ ∈F2[x]_Grad<3 mit σ+pF²[x] = (x²+x+ 1)⁻¹.

5. Seien p₁(T) := T³ +T + 1, p₂(T) := T³ +T² + 1, p₃(T) := T² +T + 1 ∈ F8[T].

Bestimme alle Wurzeln von p_i, i = 1,2,3. Welche der Polynome sind irreduzibel?

Hinweis: Falls z eine Nullstelle von einem der obigen Polynome ist, so auch ϕ(z).

6. Sei q :=x³+x²+ 1 ∈F2[x]. Gib einen F2−Algebrenisomorphismus zwischenF8 aus Aufgabenteil 3 und F2[x]/qF2[x] an.

Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 04.05.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.