Lineare Algebra II - SS 2016

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Lineare Algebra II - SS 2016

Ubungsblatt 05 ¨

Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur

Aufgabe 1. (Universelle Eigenschaft von K[x]. 4 Punkte.)

1. Zeige: Sei K ein K¨orper, A eine K-Algebra und a ∈ A. Dann gibt es genau einen K-Algebren-Homomorphismus

ϕ: K[x]→A mit ϕ(x) = a.

2. Sei B eine K-Algebra und b ∈ B so, dass f¨ur jede K-Algebra A und jedes a ∈ A genau ein K-Algebren-Homomorphismus ϕ : B →A mit ϕ(b) = a existiert. Zeige:

Es existiert ein K-Algebren-Isomorphismus ϕ:B →K[x].

Aufgabe 2. (Projektionen. 4 Punkte.)

1. Beweise Lemma 2.22 aus der Vorlesung: Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und α ∈ End (V). Sei π ∈ End (V) eine mit α vertauschbare Projektion. Dann sind Kern (π) und Bild (π) α-invariante Teilr¨aume von V und es gilt: V = Kern (π) ⊕ Bild (π).

2. Sei V =V₁⊕ V₂ mit Projektionen π₁, π₂, so dass Bild (π₁) =V₁, Kern (π₁) =V₂ und analog f¨ur π₂. Sei weiterhin β ∈ End (V). Dann sind die V_i genau dann β-invariant, wennπ₁◦β◦π₂ = 0 und π₂ ◦β◦π₁ = 0 gilt.

Aufgabe 3. (Orthogonale Zerlegung der Eins. 4 Punkte.)

1. Seien p₁, . . . p_k ∈K[x] paarweise teilerfremde Polynome. Weiterhin sei q_i := Y

j=1,...,n i6=j

p_j, i= 1, . . . , n.

Zeige, dass a₁, . . . , a_n∈K[x] existieren mit

n

X

i=1

a_iq_i = 1.

Wie hilft diese Zerlegung beim Beweis von 2.23.2?

Hinweis: Wie werden die a_i mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus be- rechnet?

2. Sei V ein K-Vektorraum und α ∈ End (V). Sei µ_α = p₁· · ·p_n, p_i ∈ K[x] paarweise teilerfremd, und a_i und q_i ∈K[x] wie oben. Zeige:

Bild ((aiqi) (α)) = Bild (qi(α)).

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Aufgabe 4. (Minimalpolynom. 4 Punkte.)

Sei V ein K-Vektorraum und α ∈ End (V). Seien weiterhin T1,T2 α-invariante Teilr¨aume von V mit V =T₁⊕ T₂, und α_i :T_i → T_i, v 7→α(v),i= 1,2.

1. Zeige: µ_α = kgV (µ_α₁, µ_α₂).

2. Formuliere eine Matrixversion dieser Aussage.

3. Verallgemeinere die obige Aussage auf k≥2 Teilr¨aume und beweise sie.

Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 18.05.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.