Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 01 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat
In diesem ¨Ubungsblatt bezeichnetK einen K¨orper.
Aufgabe 1. (Polynome und Potenzreihen. 4 Punkte.)
1. Seien a:= (1,2,3,0,0. . .), b= (3,2,1,0,0, . . .)∈K[x]. Berechne a·b.
2. Seien a:= (1,1, . . .), b= (1,−1,0,0, . . .)∈K[[x]]. Berechne a·b.
3. Sei a∈K[[x]]. Zeige, dass
µa :K[[x]]→K[[x]], b7→a·b
eine lineare Abbildung ist. Diese ist genau dann injektiv, wenn a6= 0 gilt.
Aufgabe 2. (Polynome und Potenzreihen. 5 Punkte.) Beweise die folgenden Bemerkungen.
1. 1 := (1,0,0, . . .) ist neutrales Element der Multiplikation in K[[x]] und in K[x].
2. xa= (0, a0, a1, . . .) f¨ur alle a∈K[[x]].
3. Sei a∈K[x] ein Polynom vom Grad n, dann gilt
a=a0+a1x+a2x2+. . .+anxn.
4. K[x]Grad<n:={0} ∪ {a∈K[x]|Grad(a)< n} ist ein Teilvektorraum vonK[x].
5. F¨ur a, b∈K[x]− {0} gilt Grad(ab) = Grad(a) + Grad(b).
Aufgabe 3. (Einheiten vom Polynomring. 3 Punkte.) Bestimme die Einheitengruppe von K[x].
Aufgabe 4. (Einheiten vom Potenzreihenring. 4 Punkte.) Zeige: Ein Element a = P∞
i=0aixi ∈ K[[x]] ist invertierbar dann und nur dann, wenn a0 6= 0.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 20.04.2016, 15:00 Uhr in den Kasten mit der Aufschrift “HIER auch Abgabe von ¨UBUNGEN f¨ur VORLE- SUNGEN von Prof. Barakat” ein. Dieser befindet sich im ENC, 2. Etage, am Zu- gang zum Geb¨audeteil D. Bitte verseht eure Abgabe mit Namen, Matrikelnummer und Ubungsgruppenzugeh¨¨ origkeit.
