Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 13 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. (Jordan-Normalform. 4 Punkte.)
Sei K ∈ {F2,Q,C}. Bestimme f¨ur jeden dieser K¨orper die Jordan-Normalform JK der Matrix
A:=
2 −4 −2 4 1 1 −1 1 0 −1 1 1
1 2 0 0
∈K4×4.
Bestimme f¨ur jedes JK eine Matrix XK so, dass JK =XK−1AXK. Aufgabe 2. (Jordan-Normalform. 4 Punkte.)
Bestimme die Jordan-Normalformen Ji der folgenden MatrizenAi ∈F4×42 :
A1 :=
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1
, A2 :=
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
,
A3 :=
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
, A4 :=
0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0
.
Bestimme f¨ur jedes Ai ein Xi mit Xi−1AiXi =Ji.
Lineare Algebra II - SS 2016
Definition. Die Gruppe G operiere auf einer Menge M. Die Operation heißt transitiv, falls M eine Bahn bildet, d.h. M = Gm f¨ur ein m ∈ M (und somit M = Gm f¨ur jedes m∈M).
Aufgabe 3. (Gruppenoperationen. 4 Punkte.) Sei M eine Menge, auf der eine Gruppe G operiert. Zeige:
1. G operiert auf denn-Tupeln von Elementen von M via
G×Mn →Mn,(g,(m1, . . . , mn))7→(gm1, . . . , gmn).
2. Es gilt StabG((m1, . . . , mn)) =Tn
i=1StabG(mi).
3. Sei von jetzt an G := S4 und M := {1,2,3,4}. Hierbei operiere S4 auf M durch Anwenden. Bestimme ein Vertretersystem der Bahnen auf M2.
4. Bestimme die Stabilisatoren von 1 und (1,2) bez¨uglich der oben genannten genannten Operationen von S4 auf M bzw. M2.
Aufgabe 4. (Gruppenoperationen. 4 Punkte.)
Sei V ein K-Vektorraum von Dimension ≥ 2 und G := GL (V). G operiert auf V durch Anwenden, d.h. G× V → V,(g, v)7→g(v). Zeige:
1. G operiert transitiv aufV − {0}.
2. F¨ur beliebige v, w∈ V linear unabh¨angig ist die folgende Menge ein Vertretersystem der Bahnen vonG auf V2:
{(0,0),(0, v),(v, av),(v, w)|a ∈K}.
3. Sei V :=K3. Bestimme Bahn und Stabilisator von (1,0,0)tr.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 13.07.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
