Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 06 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. (Diagonalisierung. 4 Punkte.)
Sei
A:=
1 1 3 0 3 1 2 0 4 3 1 0 3 3 1 1
∈F4×45 .
Uberpr¨¨ ufe, ob A diagonalisierbar ist, und bestimme gegebenenfalls eine Eigenvektorbasis.
Bestimme ebenfalls µA und χA.
Aufgabe 2. (Hauptr¨aume. 4 Punkte.) Sei
A:=
1 · · · 1 ·
· 1 · 1 · 1
1 1 · · 1 ·
· · · 1 1 1 1 1 1 · 1 ·
· 1 · 1 · ·
∈F6×62 .
Bestimme eine MatrixB ∈F6×62 mit
B−1AB =
· · · 1 · ·
1 · · · · ·
· 1 · 1 · ·
· · 1 · · ·
· · · 1
· · · · 1 ·
Aufgabe 3. (Hauptr¨aume. 4 Punkte.)
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und α ∈ End(V). Schreibe das Minimal- polynom µα = Q`
i=1pmi i mit pi irreduzibel normiert und paarweise verschieden, l ∈ N, mi ∈N f¨ur i= 1, . . . , l. Sei χα =Q`
i=1pcii das charakteristische Polynom von α mit ci ∈N f¨ur i = 1, . . . , l. Zeige: Kern(pmi i(α)) = Kern(pcii(α)) = Bild(qi(α)) = Bild(ri(α)), wobei ri :=Q
j6=ipcjj und qi :=Q
j6=ipmj j f¨uri= 1, . . . , l.
Lineare Algebra II - SS 2016
Aufgabe 4. (Moduln. 4 Punkte.) Seien R ein Ring und M, N, P R-Moduln. Seien ϕ:M →N und ψ :N →P R-Modulhomomorphismen. Zeige:
1. ψ◦ϕist ein R-Modulhomomorphismus.
2. Kern(ϕ) ist ein Teilmodul von M und Bild(ϕ) ist ein Teilmodul vonN. 3. ϕist genau dann injektiv, wenn Kern(ϕ) ={0}.
4. Ist ϕbijektiv, dann ist auch ϕ−1 ein R-Modulhomomorphismus.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 25.05.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
