Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 12 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. ( ¨Ahnlichkeitsklassen. 4 Punkte.)
1. Sei K ein K¨orper und a6=b ∈K. Bestimme Vertreter aller ¨Ahnlichkeitsklassen von Matrizen mit Eintr¨agen in K und charakteristischem Polynom (x−a)4(x−b)2. 2. Bestimme ein Vertretersystem der ¨Ahnlichkeitsklassen inF3×32 .
Aufgabe 2. ( ¨Ahnlichkeit. 4 Punkte.)
Seien K ein K¨orper, n ∈N und A ∈Kn×n. Zeige, dassA ¨ahnlich zu Atr ist.
Aufgabe 3. (Normalformen. 4 Punkte.)
Bestimme die rationale kanonische Form, die prim¨are kanonische Form und die Jordan- Normalform von
A:=
0 0 0 1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 b 0 0 0 1 0 0 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
∈F8×85
in Abh¨angigkeit von a, b, c, d∈F5.
Aufgabe 4. (Jordan-Normalform. 4 Punkte.)
Bestimme die Jordan-Normalformen Ji der folgenden MatrizenAi ∈F4×42 :
A1 :=
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0
, A2 :=
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 06.07.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
