Lineare Algebra II - SS 2016

Lineare Algebra II - SS 2016

Ubungsblatt 04 ¨

Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur

Wir setzenA^tr :=^tA f¨ur die zu einer MatrixA transponierte Matrix.

Aufgabe 1. (Invariante Teilr¨aume. 4 Punkte.)

Beweise Bemerkung 2.14: SeiK ein K¨orper undVendlich erzeugterK-Vektorraum,V ∈ V, α∈End(V), d:= Grad(µ_α,V) und W :=K[α]·V =hV, α(V), . . . , α^d−1(V)i ≤ V. Zeige:

1. W ist ein α-invarianter Teilraum, d.h. α(W)⊂ W.

2. Ist β :W → W, W 7→α(W), so gilt µ_β =µ_α,V. 3. Ist W =V, so ist µ_α,V =µ_α.

Aufgabe 2. (Blockdreiecksgestalt und Diagonalgestalt von Matrizen. 4 Punkte.) 1. Es bezeichne α:=Ae:F⁵2 →F⁵2 die zur Matrix Aaus Aufgabe 3.1 (unten) assoziierte Standardabbildung. Zeige, dass der von den ersten zwei Standardvektoren erzeugte Teilraum von F⁵2 invariant unter α ist. Gib 3 weitere unter α invariante Teilr¨aume an.

2. Es sei K ein K¨orper, V ein K-Vektorraum mit Dimension n ∈ N und β : V → V ein Endomorphismus. Zeige: Genau dann existiert ein unter β invarianter Teilraum {0}U V, wenn eine Basis B von V existiert mit

Bβ^B =

B D 0 C

∈K^n×n

f¨ur Matrizen B ∈ K^m×m, C ∈ K(n−m)×(n−m), D ∈ K^m×(n−m) und einer nat¨urlichen Zahl m mit 0< m < n.

3. Sei

A :=

B D 0 C

∈K^n×n

mit B ∈ K^m×m. Weiter seien E := (E₁, . . . , E_n), E⁰ := (E₁, . . . , E_m) und E⁰⁰ :=

(Em+1+U, . . . , En+U) die Standardbasen von V = K^n×1, U = hE1, . . . , Emi ≤ V und V/U. Dann ist U ein unter α = Ae invarianter Teilraum. Sind β und γ die auf U und V/U induzierten Endomorphismen wie in Lemma 2.11, so gilt^E0β^E0 =B und

E⁰⁰γ^E00 =C.

Lineare Algebra II - SS 2016

Aufgabe 3. (Minimalpolynom. 4 Punkte.) 1. Bestimme das Minimalpolynom µ_A der Matrix

A=













0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1













∈F^5×52 .

ZerlegeµA in seine irreduzible Faktoren.

2. Bestimme jeweils das Minimalpolynom der Matrizen A:=





0 1 1 1 0 1 1 1 0



∈Q^3×3, Diag(A, A)∈Q^6×6, B :=





−1 1 0

0 −1 1

0 0 −1



∈Q^3×3,

B^tr ∈Q^3×3 und Diag(A, B)∈Q^6×6.

Dabei ist f¨urX, Y ∈Q^3×3 die 6×6-Matrix Diag(X, Y) definiert als Diag(X, Y) :=

X 0_3,3 0_3,3 Y

∈Q^6×6.

Aufgabe 4. (Minimalpolynom. 4 Punkte.) Seien K ein K¨orper, n ∈N und A ∈K^n×n. Zeige:

1. A ist genau dann invertierbar, wenn der konstante Koeffizient des Minimalpolynoms invertierbar ist, also µA(0) 6= 0. Entwickle eine Formel f¨ur A⁻¹ in Abh¨angigkeit von µ_A.

2. Die Minimalpolynome von A und A^tr sind identisch.

3. µA hat Grad ≤n.

Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 11.05.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.