Lineare Algebra II - SS 2016

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Lineare Algebra II - SS 2016

Ubungsblatt 09 ¨

Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur

Aufgabe 1. (Zerlegung von Moduln. 4 Punkte.)

Beweise Lemma 3.52 aus der Vorlesung: Sei R Integrit¨atsbereich und (e1 = (1,0, . . . ,0)^tr, e₂, . . . , e_n) die Standardbasis vonR^n×1. Sei k ≤ n und d₁, . . . , d_k ∈R\ {0}.

Dann gilt

R^n×1/hd₁e₁, . . . , d_ke_ki_R = (

n

M

i=1

Re_i)/(

k

M

i=1

Rd_ie_i)

∼=

k

M

i=1

Re_i/Rd_ie_i⊕

n

M

i=k+1

Re_i

∼=

k

M

i=1

RR/Rd_i⊕R^(n−k)×1.

Aufgabe 2. (Torsionsmoduln. 4 Punkte.)

Sei R ein Hauptidealbereich und M ein R-Modul. Zeige: M/T(M) ist torsionsfrei.

Aufgabe 3. (Annihilatorideal. 4 Punkte.)

Es sei R := K[x], d₁, . . . , d_n ∈ R, A := diag (d₁, . . . , d_n) ∈ R^n×n, und M = hA−,1, . . . , A−,ni ≤R^n×1. Weiterhin sei N :=R^n×1/M.

1. Was ist das Annihilatorideal von A−,i ∈M,i= 1, . . . , n?

2. Was ist das Annihilatorideal von e_i ∈N, i= 1, . . . , n?

3. Was ist das Annihilatorideal von Pn

i=1e_i ∈N? Aufgabe 4. (Ideale. 4 Punkte.)

1. Bestimme alle maximalen Ideale von R[x].

2. Es sei R := F2[x]/hx³+x²+x+ 1i. Bestimme R^∗ und die Menge der Primideale von R.

Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 15.06.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.