Lineare Algebra II - SS 2016

Lineare Algebra II - SS 2016

Ubungsblatt 02 ¨

Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur

Wir erinnern an die folgenden Begriffe:

• Ganzzahlige Division mit Rest: Seien a, b ∈ Z mit b 6= 0. Dann k¨onnen wir eindeutige Zahlenq_a,b∈Z,r_a,b ∈ {0, . . . , b−1}konstruieren, sodass a=q_a,b·b+r_a,b.

• Gr¨oßter gemeinsamer Teiler: Seien a, b∈ Z. Ein gemeinsamer Teiler von a und b ist ein t ∈ Z mit t|a und t|b. Ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b ist ein gemeinsamer Teiler g von a und b, sodass f¨ur alle gemeinsamen Teiler t von a und b gilt: t|g. Ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b existiert und ist bis aufs Vorzeichen eindeutig. Wir schreiben ggT(a, b) f¨ur den nicht negativen gr¨oßten gemeinsamen Teiler von a und b.

Aufgabe 1. (Restklassenringe von Z. 4 Punkte.)

Sei n ∈Nmit n6= 0. Zwei ganze Zahlen a, b∈Z heißen kongruent modulo n (geschrie- ben: a≡_nb oder auch a ≡b modn), falls n | a−b. Beweise die folgenden Aussagen.

1. ≡_n definiert eine ¨Aquivalenzrelation aufZ. 2. F¨ur alle a, a⁰, b, b⁰ ∈Z gilt:

• Wenna≡_n a⁰ und b ≡_nb⁰, dann gilt a+b ≡_na⁰ +b⁰.

• Wenna≡_n a⁰ und b ≡_nb⁰, dann gilt a·b≡_n a⁰·b⁰.

F¨ur ein a∈Z bezeichnen wir seine zugeh¨orige ¨Aquivalenzklasse mit a.

3. Zeige, dass 0,1, . . . , n−1 ein Vertretersystem der ¨Aquivalenzklassen bildet.

Die Menge aller ¨Aquivalenzklassen bezeichnen wir mit Z/nZ. Seien a, b ∈ Z und a, b ∈ Z/nZdie zugeh¨origen ¨Aquivalenzklassen. Wir definieren die folgenden Operationen:a+b:=

a+b und a·b :=a·b.

4. Zeige, dass diese Operationen wohldefiniert sind und die MengeZ/nZmit der Struk- tur eines kommutativen Rings ausstattet, wobei 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.

Aufgabe 2. (Erweiteter Euklidischer Algorithmus. 4 Punkte.)

Seien a, b∈ Z mit b 6= 0 und a =qa,b·b+ra,b die Zerlegung gem¨aß ganzzahliger Division mit Rest.

1. Zeige, dass ggT(a, b) = ggT(b, r_a,b) gilt. Benutze diese Gleichung iterativ, um ggT(192,42) zu bestimmen.

Lineare Algebra II - SS 2016

2. Es gilt

0 1 1 −q_a,b

a b

= b

r_a,b

. Benutze diese Matrixgleichung iterativ, um zu zeigen, dass es eine Matrix A∈Z^2×2 gibt mit A

a b

=

ggT(a, b) 0

. 3. Folgere die B´ezout-Identit¨at, d.h. zeige die Existenz von α, β ∈Z mit

α·a+β·b = ggT(a, b).

Bestimme solche Zahlen α, β f¨ura= 192 und b = 42.

Aufgabe 3. (Endliche K¨orper. 4 Punkte.) Sei n ∈Nmit n6= 0.

1. Sei a∈Z. Zeige mit Hilfe der B´ezout-Identit¨at aus Aufgabe 2:

a ∈(Z/nZ)^∗ ⇔ggT(a, n) = 1.

2. Folgere, dass Z/nZ ein K¨orper ist dann und nur dann, wennn eine Primzahl ist.

F¨ur Primzahlen p∈Zbezeichnen wir Z/pZ auch mitF^p. 3. Bestimme ein x∈ {0, . . . ,100} mit x= 42⁻¹ in F101. Aufgabe 4. (Faktorr¨aume. 4 Punkte.)

Sei K ein K¨orper und V ein K-Vektorraum.

1. SeiU ≤ V ein Teilraum mit BasisB undC ⊆ V. Zeige, dass die Elemente{c+U |c∈ C}eine Basis von V/U bilden dann und nur dann, wenn B∩C =∅ und B∪C eine Basis von V bildet.

2. Gegeben sei die Matrix

A:=

1 2 3 4 0 1

∈F^2×35 .

Es sei α : F³5 → F²5 die von A induzierte Standardabbildung. Bestimme eine Basis von F³5/Kern(α). Es seien weiter die Vektoren

V1 :=



 2 1 2



, V2 :=



 2 0 0



, V3 :=



 3 3 1



∈F^3×15 .

gegeben. Bestimme alle Paare i, j ∈ {1,2,3} mit V_i+ Kern(α) = V_j + Kern(α).

Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 27.04.2016, 15:00 Uhr in den Kasten mit der Aufschrift “HIER auch Abgabe von ¨UBUNGEN f¨ur VORLE- SUNGEN von Prof. Barakat” ein. Dieser befindet sich im ENC, 2. Etage, am Zu- gang zum Geb¨audeteil D. Bitte verseht eure Abgabe mit Namen, Matrikelnummer und Ubungsgruppenzugeh¨¨ origkeit.