Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 08 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. (Erweiteter Euklidischer Algorithmus. 4 Punkte.)
Sei R ein Euklidischer Bereich. Gib einen Algorithmus zur Berechnung des gr¨oßten ge- meinsamen Teilers und einer B´ezout-Identit¨at an (Erweiterter Euklidischer Algorithmus), d.h. einen Algorithmus mit Eingabe a, b ∈ R und Ausgabe ggT(a, b) und x, y ∈ R mit xa+yb= ggT(a, b). Beweise, dass dieser Algorithmus funktioniert (d.h. er berechnet nach endlich vielen Schritten den ggT und eine B´ezout-Identit¨at).
Aufgabe 2. (Euklidische Ringe. 4 Punkte.)
Zeige: Der RingZ[i] := Z[x]/hx2+ 1iist ein Euklidischer Bereich mitν(a+bi) :=a2+b2 f¨ur a, b∈Z. Hierbei steht das i f¨ur die Restklasse von x.
Aufgabe 3. (Simultane Kongruenzensysteme. 4 Punkte.)
1. Finde alle x∈Z mit
x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 3 (mod 5) 2. Finde alle x∈Z mit
x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 13 (mod 30) Aufgabe 4. (Hermiteinterpolation. 4 Punkte.) Finde alle Polynome p∈R[x] mit
p(0) =p0(0) = 0, p(1) =p0(1) = p00(1) = 0, p(2) = 0 und p(3) = 1.
Hierbei bezeichnep0 die Ableitung von p nachx.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 08.06.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
