Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
1. Klausur
1. Es seien V ein Vektorraum (¨ uber R oder C ), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und U , W Unter¨ aume von V mit U + U
⊥= V = W + W
⊥. Sind π
U, π
W: V → V die orthogonalen Projektionen auf U (bzw. W ), so gilt
U ⊂ W ⇐⇒ π
W◦ π
U= π
U.
2. Es sei P
2( R ) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2, zusammen mit dem Skalarprodukt
hf, gi = Z
10
f (x)g(x) dx .
p ∈ P
2( R ) sei definiert durch p(x) = x
2+ 1 f¨ ur alle x ∈ R . Bestimmen Sie {p}
⊥.
3. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement des Spaltenraums der Matrix
1 0 0 −1
0 1 1 0
0 0 −1 2
1 1 0 1
.
4. F¨ ur n ≥ 2 sei A
ndie folgende n × n-Matrix
A
n=
1 −1 0 0 0 . . . 0
−1 1 −1 0 0 . . . 0
0 −1 1 −1 0 . . . 0
.. .
0 . . . . . . 0 −1 1 −1 0 . . . . . . . . . 0 −1 1
.
Leiten Sie eine zweistufige Rekursionsformel f¨ ur det(A
n) her (d.h. dr¨ ucken Sie det(A
n) durch det(A
n−1) und det(A
n−2) aus).
5. Es seien σ, τ ∈ S
6, σ =
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 1 2
, τ =
1 2 3 4 5 6
1 6 4 3 5 2
. (a) Berechnen Sie σ
−1und σ ◦ τ.
(b) Schreiben Sie σ als Produkt von Vertauschungen.
(c) Berechnen Sie sgn(σ).
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
1. Klausur
1. Es seien V ein Vektorraum (¨ uber R oder C ), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und U , W Unter¨ aume von V mit U + U
⊥= V = W + W
⊥. Sind π
U, π
W: V → V die orthogonalen Projektionen auf U (bzw. W ), so gilt
W ⊂ U ⇐⇒ π
U◦ π
W= π
W.
2. Es sei P
2( R ) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2, zusammen mit dem Skalarprodukt
hf, gi = Z
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