1. Bestimmen Sie die Jordannormalform der Matrix

(1)

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11

2. Klausur

1. Bestimmen Sie die Jordannormalform der Matrix







1 1 0 1

0 2 0 0

−1 1 2 1

−1 1 0 3





 .

2. Es sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R vom Grad ≤ 2. Die lineare Abbildung F : V → V sei definiert durch F(f )(x) = (x

²

+ 2x)f

^′′

(x ) f¨ ur alle f ∈ V und alle x ∈ R (dabei sei f

^′′

die zweite Ableitung von f ).

Bestimmen Sie die Eigenwerte von F und die zugeh¨origen Eigenr¨aume.

3. Die lineare Abbildung F : R

²

→ R sei definiert durch F(x

₁

, x

₂

) = x

₁

− 2x

₂

f¨ ur alle (x

₁

, x

₂

) ∈ R

²

. Wir versehen R

²

mit dem Skalarprodukt

h x

₁

x

₂

, y

₁

y

₂

i = 1

2 x

₁

y

₁

+ 1 3 x

₂

y

₂

und R versehen wir mit dem Skalarprodukt hx, yi = 4xy. Berechnen Sie die Matrixdarstellung (bez¨ uglich der Standardbasen von R

²

und R) der adjungierten Abbildung F

^∗

: R → R

²

bez¨ uglich der gegebenen Skalarprodukte.

4. Sei A eine komplexe m × n Matrix. Zeigen Sie ker(A) = ker(A

^∗

A).

5. Seien K ein K¨orper und A eine n × n Matrix ¨ uber K und P ∈ K[X ] ein Polynom.

(a) Zeigen Sie: Ist λ ∈ K ein Eigenwert von A, so ist P(λ) ein Eigenwert von P (A).

(b) Wir nehmen zus¨atzlich an, dass das charakteristische Polynom von A ¨ uber K in Linearfaktoren

zerf¨allt. Zeigen Sie, ist µ ein Eigenwert von P (A), so gibt es einen Eigenwert λ von A mit

µ = P (λ).

(2)

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11

2. Klausur

1. Bestimmen Sie die Jordannormalform der Matrix







2 1 0 1

0 3 0 0

−1 1 3 1

−1 1 0 4





 .

2. Es sei V der Vektorraum aller Polynomfunktionen f : R → R vom Grad ≤ 2. Die lineare Abbildung F : V → V sei definiert durch F(f )(x) = (x

²

− 2x)f

^′′

(x ) f¨ ur alle f ∈ V und alle x ∈ R (dabei sei f

^′′

die zweite Ableitung von f ).

Bestimmen Sie die Eigenwerte von F und die zugeh¨origen Eigenr¨aume.

3. Die lineare Abbildung F : R

²

→ R sei definiert durch F(x

₁

, x

₂

) = x

₁

+ 3x

₂

f¨ ur alle (x

₁

, x

₂

) ∈ R

²

. Wir versehen R

²

mit dem Skalarprodukt

h x

₁

x

₂

, y

₁

y

₂

i = 1

3 x

₁

y

₁

+ 1 2 x

₂

y

₂

und R versehen wir mit dem Skalarprodukt hx, yi = 3xy. Berechnen Sie die Matrixdarstellung (bez¨ uglich der Standardbasen von R

²

und R) der adjungierten Abbildung F

^∗

: R → R

²

bez¨ uglich der gegebenen Skalarprodukte.

4. Sei A eine komplexe m × n Matrix. Zeigen Sie ker(A

^∗

) = ker(AA

^∗

).

5. Seien K ein K¨orper und A eine n × n Matrix ¨ uber K und P ∈ K[X ] ein Polynom.

(a) Zeigen Sie: Ist λ ∈ K ein Eigenwert von A, so ist P(λ) ein Eigenwert von P (A).

(b) Wir nehmen zus¨atzlich an, dass das charakteristische Polynom von A ¨ uber K in Linearfaktoren

zerf¨allt. Zeigen Sie, ist µ ein Eigenwert von P (A), so gibt es einen Eigenwert λ von A mit

µ = P (λ).