Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11
Wiederholungsklausur
1. F¨ur welche a∈Rist die Matrix
0 a 1
0 1 a
1 1 1
invertierbar? Berechnen Sie f¨ur dieseaauch die Inverse der Matrix.
2. Sei die lineare Abbildung f:R2 → R3 gegeben durchf(x, y) = (2y, y−x, x). Bestimmen Sie die Matrix vonf bez¨uglich der Basen ((1,0),(1,1)) und ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)).
3. Es seiV der Vektorraum aller FunktionenR≥0 →R. F¨ur f ∈V seiL(f)∈V diejenige Funktion mitL(f)(x) =f(x+ 1) f¨ur allex∈R≥0.
Zeigen Sie, dassL:V →V linear ist, und bestimmen Sie ker(L) undrg(L).
4. Seien V, U Vektorr¨aume, f: V → U linear, W = ker(f), v ∈ V und u= f(v) ∈ U. Zeigen Sie v+W =f−1({u}).
5. SeienV ein Vektorraum undf: V →V linear mitf(f(v)) =vf¨ur allev∈V. Definiere Unterr¨aume V1,V−1 vonV durch
V1={v∈V | f(v) =v}, V−1={v∈V | f(v) =−v} .
Zeigen SieV =V1+V−1, und dass diese Summe direkt ist.
Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11
Wiederholungsklausur
1. F¨ur welche a∈Rist die Matrix
0 1 a
0 a 1 1 1 1
invertierbar? Berechnen Sie f¨ur dieseaauch die Inverse der Matrix.
2. Sei die lineare Abbildung f:R2 → R3 gegeben durchf(x, y) = (x,2y, y−x). Bestimmen Sie die Matrix vonf bez¨uglich der Basen ((1,1),(1,0)) und ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)).
3. Es seiV der Vektorraum aller FunktionenR≥0 →R. F¨ur f ∈V seiL(f)∈V diejenige Funktion mitL(f)(x) =f(x+ 2) f¨ur allex∈R≥0.
Zeigen Sie, dassL:V →V linear ist, und bestimmen Sie ker(L) undrg(L).
4. Seien V, U Vektorr¨aume, f: U → V linear, W = ker(f), u ∈ U und v =f(u) ∈ V. Zeigen Sie u+W =f−1({v}).
5. SeienV ein Vektorraum undf: V →V linear mitf(f(v)) =vf¨ur allev∈V. Definiere Unterr¨aume V1,V−1 vonV durch
V1={v∈V | f(v) =v}, V−1={v∈V | f(v) =−v} .
Zeigen SieV =V1+V−1, und dass diese Summe direkt ist.
