Lineare Algebra I 10. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/2011
Prof. Dr. Kollross 11. Januar 2011
Dr. Le Roux
Dipl.-Math. Susanne Kürsten
Gruppenübung
Aufgabe G1
SeiV ein Vektorraum endlicher Dimension und U ein Untervektorraum. Folgen Sie aus der Aufgabe G4 des Tutoriums 10, dassd im(U) +d im(V/U) =d im(V)gilt.
Aufgabe G2
(a) SeienV =U1⊕U2undW zweiK-Vektorräume. Seienφ1:U1→W undφ2:U2→W zwei lineare Abbildungen.
Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildungφ:V →Wgibt, sodassφ|U1=φ1undφ|U2=φ2.
(b) Sei V ein endlicherK-Vektorraum und U1,U2 zwei Untervektorräume von V. Angenommen, für je zwei lineare Abbildungenφ1:U1→W undφ2:U2→W gibt es genau eine lineare Abbildungφ:V →W, sodassφ|U1=φ1
undφ|U2=φ2. Zeigen Sie, dassV =U1⊕U2gilt.
Aufgabe G3
Wir betrachten imQ-VektorraumP3(Q)der Polynome vom Grad≤ 3die TeilmengenU :={p|p(−1) =0} undV :=
{p|p(2) =0}.
(a) Zeige, dassU undV lineare Untervektorräume desQ-VektorraumsP3(Q)sind.
(b) Bestimme Basen fürUundV.
(c) Bestimme die Dimensionen vonU,V,U∩V undU+V.
Aufgabe G4
Zeigen Sie, dass es keine lineare Abbildung f :R4→R3gibt mit
Imf =span
1 1 3
,
1
−1 0
, kerf =span
1
−2 0 1
.
Aufgabe G5
SeiV =C([0, 1],C)derC-Vektorraum der Funktionen von[0, 1]nachC.
(a) Für eine TeilmengeM⊆[0, 1], seiU:={f ∈V :f(x) =0für allex∈M}. Zeigen Sie, dassUein Untervektorraum vonV ist.
(b) Betrachten SieU0={f ∈V:f(0) =0}. Beweisen Sie, dassV/U0∼=Cgilt.
Hausübung
Aufgabe H1
Wir betrachten im Q-VektorraumP3(Q)der Polynome vom Grad ≤ 3 mit Koeffizienten aus Q den Untervektorraum V :={p|p(0) =0}. Des Weiteren betrachten wir inP3(Q)die Polynome
p0:=x(x−1)(x−2), p1:= (x+1)x(x−1), p2:= (x+2)(x+1)x.
1
(a) Stellen Sie das Polynom6xals Linearkombination vonp0,p1undp2dar.
(b) Beweisen Sie, dass die Polynomep0,p1,p2eine Basis vonV bilden.
Aufgabe H2
Sei W ein untervektorraumraumm des endlichdimensional Vektorraum V. Angenommen, dass B = (w1,· · ·,wm) ei- ne Basis für W ist und (v1+W,· · ·,vk+W) eine Basis des Quotientenraum V/W bildet. Zeigen Sie, dass C = (w1,· · ·,wm,v1,· · ·,vk)eine Basis fürV ist, ohne die Formeldim(V) =dim(W) +dim(V/W)anzuwenden.
Aufgabe H3
SeienU ⊆V undX ⊆W vierK-Vektorräume. Seien f :V →W eine lineare Abbildung und die AbbildungF :V/U → W/X definiert durchv+U7→f(v) +X. Zeigen Sie, dassF wohldefiniert ist, genau dann, wenn f(U)⊆X gilt.
2
