Lineare Algebra II 10. Übungsblatt

Lineare Algebra II 10. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik SS 2011

Prof. Dr. Kollross 22. Juni 2011

Susanne Kürsten Tristan Alex

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Minitest (Bearbeitung innerhalb von 15 Minuten und ohne Benutzung des Skripts!)) (a) Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

ƒ Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.

ƒ Symmetrische Matrizen sind normal.

ƒ Reelle symmetrische Matrizen sind normal.

ƒ Selbstadjungierte Matrizen sind diagonalisierbar.

ƒ Orthogonale Matrizen sind unitär.

ƒ Unitäre Matrizen sind orthogonal.

ƒ Das Produkt symmetrischer Matrizen ist symmetrisch.

ƒ Hermitesche Matrizen sind selbstadjungiert.

ƒ Selbstadjungierte Matrizen sind hermitesch.

ƒ Es gibt Matrizen, die hermitesch und schiefhermitesch sind.

ƒ Es gibt normale Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind.

(b) SeiV ein Vektorraum undUein Unterraum. Geben Sie die Definition des FaktorraumsV U an.

(c) Geben Sie die Definitionen vonO_n(R),U_n(C),GL_n(K),SL_n(K),SO_n(R)undSU_n(C)an.

Aufgabe G2 (Zum Aufwärmen: Typen von Matrizen)

Entscheiden Sie bei den folgenden Matrizen, ob sie symmetrisch, schiefsymmetrisch, unitär, orthogonal, hermitesch, selbstadjungiert, schiefhermitesch, normal oder diagonalisierbar sind!

M₁:= 1 0

0 1

M₂:= 0 0

0 0

M₃:= 1 1

0 1

M₄:=1 5

3 4

−4 3

M₅:=

0 −1

1 0

M₆:= 1 p2

1 −i

−i 1

M₇:=

1 i

−i 1

M₈:=

0 i i 0

Aufgabe G3 (Halbnormen und Wiederholung LA 1)

SeiV ein reeller Vektorraum. EineHalbnormist eine positive, absolut homogene Abbildungp:V →R,x7→p(x), welche die Dreiecksungleichung erfüllt. Im Gegensatz zu einer Norm sind Vektoren06=x∈V mitp(x) =0erlaubt.

(a) Zeigen Sie, dass für jedesϕ∈V^∗die Abbildungx7→ |ϕ(x)|eine Halbnorm ist. Dabei bezeichnet V^∗:={ϕ:V →R|ϕlinear}

den Dualraum vonV.

1

(b) Seipeine Halbnorm. Zeigen Sie, dass die Menge

U_p:={x∈V : p(x) =0} einen Untervektorraum vonV bildet.

(c) Seipeine Halbnorm. Zeigen Sie, dass die Abbildung k · k:V

U_p→R, [x]7→ k[x]k:=p(x)

eine wohldefinierte Norm ist.

Aufgabe G4 (Hauptsatz über reelle symmetrische Matrizen)

(a) Zeigen Sie direkt, dass reelle symmetrische Matrizen eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzen. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

i. Zeigen Sie, dass jede reelle symmetrische MatrixAeinen reellen Eigenwert besitzt.

ii. Zeigen Sie: IstU⊆Rⁿein unterAinvarianter Unterraum, dann ist auchU^⊥einA-invarianter Unterraum.

iii. Zeigen Sie induktiv, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren vonAinRⁿgibt und folgern Sie den Hauptsatz.

(b) Sei

A:=







2 1 1

1 2 1

1 1 2





.

Finden Sie eine DiagonalmatrixDund eine orthogonale MatrixS, sodassS⁻¹AS=Dgilt. Geben Sie alle Matrizen konkret an.

Hausübung

In dieser Hausübung könnten Sie etwas Analysis benötigen. Hilfreich sind die folgenden Behauptungen, die Sie benutzen dürfen:

• Es giltcost=P_∞

k=0(−1)^k

(2k)!t^2k=1−^t₂²+^t_4!⁴∓. . ..

• Es giltsint=P_∞

k=0 (−1)^k

(2k+1)!t^2k+1=t−^t_3!³+^t_5!⁵∓. . ..

• Es gilt dieCauchy-Produktformel

X∞

k=0

a_k

! _∞ X

k=0

b_k

!

= X∞

n=0 n

X

k=0

a_kb_n−k

!

Aufgabe H1 (Matrixexponentialfunktion Teil I)

SeiA∈M_n(K). Wir definieren dieMatrixexponentialfunktiondurch exp(A):=e^A:=

X∞

k=0

A^k

k! =E_n+A+1

2A²+. . . .

Es lässt sich mit Mitteln der Analysis zeigen, dass diese Reihe für jede MatrixAabsolut konvergiert, die Funktion exp:M_n(K)→M_n(K), A7→exp(A)

also wohldefiniert ist. In dieser Aufgabe untersuchen wir einige Eigenschaften dieser Abbildung.

(a) Berechnen Sieexp(At)fürA∈

1 0 0 1

, 0 0

0 0

,

0 −1

1 0

undt∈R.

(b) Zeigen Sie den Binomialsatz für Matrizen: FallsAundBkommutieren gilt die Formel (A+B)ⁿ=

n

X

k=0

n k

A^kB^n−k.

2

(c) Folgern Sie die Funktionalgleichung

exp(A)·exp(B) =exp(A+B), fallsAundBkommutieren.

(d) Folgern Sieexp(A)⁻¹=exp(−A).

Aufgabe H2 (Matrixexponentialfunktion Teil II) (a) Berechnen SieexpAfür eine DiagonalmatrixA.

(b) Wie kann manexpAfür eine diagonalisierbare Matrix bestimmen?

(c) Berechnen SieexpAfürA:=







5 0 −4

0 −1 0

−4 0 5





.

(d) Zeigen Siedet expA=exp trAfür diagonalisierbare MatrizenA.

(e) Zeigen Sie: istAschiefsymmetrisch, dann istexpAorthogonal.

Die Aussagen, in denen wir Diagonalisierbarkeit vorausgesetzt haben, gelten mit einer kleinen Anpassung auch für nicht diagonalisierbare Matrizen. Zeigen Sie diese Behauptung als Klausurvorbereitung, wenn Sie in der Vorlesung dieJordan- Normalformbehandelt haben.

Aufgabe H3 (Adjungierter Operator)

(a) SeienA,B:V→V lineare Abbildungen zwischen unitären (nicht notwendigerweise endlichdimensionalen) Vektor- räumen. Wir bezeichnen mitA^∗die zuAadjungierte Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

i. A^∗∗=A.

ii. WennAinvertierbar ist, dann ist es auchA^∗. In diesem Fall gilt(A^∗)⁻¹= (A⁻¹)^∗. iii. (A+B)^∗=A^∗+B^∗.

iv. Mitλ∈Cgilt(λA)^∗=λA^∗. v. (AB)^∗=B^∗A^∗.

vi. ker(A^∗) = (imA)^⊥. (b) Sei

S:`<sup>2</sup>→`², (x₁,x₂, . . .)7→(0,x₁,x₂, . . .) der Rechtsshift. Bestimmen SieS^∗sowie die Eigenwerte beider Abbildungen.

3