Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11

Proseminar Lineare Algebra I, WS 10/11

Blatt 1

1. Vom Parallelogramm ABCD sind die Punkte A = (2, 1), B = (6, 2) und D = (3, 5) gegeben.

Berechnen Sie C.

2. Stellen Sie rechnerisch fest, ob das Viereck ABCD mit A = (2, 3), B = (5, 6), C = (8, 15), D = (7, 18) ein Trapez ist und geben Sie gegebenenfalls an, welche Seiten zueinander parallel sind.

3. Gegeben sind die drei Geraden

g 1 = {(x 1 , x 2 ) ∈ R ² | x 1 + 3x 2 = 7}

g ₂ = {(x ₁ , x ₂ ) ∈ R ² | 2x ₁ − 5x ₂ = 12}

g 3 = {(x 1 , x 2 ) ∈ R ² | 3x 1 + 6x 2 = 5} .

Bestimmen Sie rechnerisch, ob diese einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

4. Gegeben seien die Gerade g im R ² und die Ebene E im R ³ . Bestimmen Sie f¨ ur g eine beschreibende Gleichung und f¨ ur E eine Parameterdarstellung.

g = {(1, 2) + t(3, 4) | t ∈ R }

E = {(x 1 , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ | x ₁ + x ₂ − x ₃ = −6}.

5. Bestimmen Sie den Schnitt der Ebene E und der Geraden g.

g = {(1, 0, −2) + t(1, 3, 1) | t ∈ R }

E = {(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ∈ R ³ | x ₁ + 2x ₂ − 3x ₃ = 5}.

6. Gegeben sind die Punkte u, v, w im R ³ . Bestimmen Sie ob es eine Ebene gibt, die diese drei Punkte enth¨ alt. Wenn ja, wieviele solche Ebenen gibt es ?

(a) u = (1, 0, 0), v = (1, 2, −5), w = (2, 3, 4).

(b) u = (0, 1, 0), v = (1, 2, 1), w = (2, 3, 2).

7. Bestimmen Sie den Schnitt der Ebenen E 1 und E 2 .

E ₁ = {(x, y, z) ∈ R ³ | x − 2y + 5z = 10},

E 2 = {(2, 1, 2) + t(0, 5, 2) + s(1, 1, 0) | s, t ∈ R }.

1. Seien A = (1, 2), B = (13, −4) und C = (7, 8). Bestimmen Sie s¨ amtliche Schwerlinien des Dreiecks ABC (in Parameterform) und bestimmen Sie den Schwerpunkt. ¨ Uberpr¨ ufen Sie, dass der Schwer- punkt tats¨ achlich auf allen drei Schwerlinien liegt.

2. L¨ osen Sie das Gleichungssystem

u ₁ − u ₂ + u ₃ − u ₄ + u ₅ = 1

2u ₁ − u ₂ + 3u ₃ + 4u ₅ = 2

3u 1 − 2u 2 + 2u 3 + u 4 + u 5 = 1 mit Gaußscher Elimination.

3. Bestimmen Sie mit Hilfe Gaußscher Elimination die Werte von a ∈ R so, dass das System

x + y − z = 1

2x + 3y + az = 3

x + ay + 3z = 2

in den Unbekannten x, y, z keine L¨ osung, mehr als eine L¨ osung bzw. eine eindeutige L¨ osung hat.

4. Gegeben seien die reellen Zahlen a, b, c, d, e, f und das Gleichungssystem av 1 + bv 2 = e

cv 1 + dv 2 = f in den Unbekannten v 1 , v 2 . Zeigen Sie:

(a) Ist ad − bc 6= 0, so hat das Gleichungssystem eine eindeutige L¨ osung.

(b) Ist ad − bc = 0 und af − ce 6= 0, so hat das Gleichungssystem keine L¨ osung.

5. Es sei n ∈ N mit n ≥ 2. F¨ ur welche a, b ∈ R besitzt das Gleichungssystem x ₁ − x ₂ = 1

x ₂ − x ₃ = 1 .. .

x _n−1 − x _n = 1

ax n − x 1 = b

in R ⁿ keine bzw. genau eine bzw. mehrere L¨ osungen ?

6. n Zwerge sitzen um einen runden Tisch. Jeder hat einen Becher Milch vor sich. Der Inhalt des Bechers des i-ten Zwergs sei x _i . Der erste Zwerg verteilt nun den Inhalt seines Bechers gleichm¨ aßig auf die Becher der anderen n − 1 Zwerge. Danach f¨ uhren die Zwerge 2, 3, . . . , n dieselbe Prozedur aus. Nachdem alle dran waren, stellen sie fest, dass nun jeder genausoviel Milch im Becher hat wie am Anfang. Wieviel Milch hatte jeder Zwerg urspr¨ unglich ?

Beantworten Sie diese Frage im Fall n = 7 und x 1 + x 2 + . . . + x 7 = 1.

7. Welche der folgenden Teilmengen des R ⁿ (n ≥ 2) sind Untervektorr¨ aume des R ⁿ ? (a) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R ⁿ | x 1 ≥ 0},

(b) {(x 1 , . . . , x n ) ∈ R ⁿ | x 1 x n = 0},

(c) {(x 1 , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ | x ₁ + . . . + x _n = 0}, (d) {(x 1 , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ | x ² ₁ + . . . + x ² _n = 0}, (e) {(x ₁ , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ | x ₁ = x ₂ = . . . = x _n }, (f) {(x ₁ , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ | x ₁ ≤ x ₂ ≤ . . . ≤ x _n }.

Stellen Sie f¨ ur n = 2 die angegebenen Mengen graphisch dar.

1. Es sei f : R → R eine Abbildung und es sei P (f ) := {p ∈ R |f (x + p) = f (x) f¨ ur alle x ∈ R } die Menge aller Perioden von f (z. B. ist 2π ∈ P (cos)).

(a) Bestimmen Sie alle f : R → R mit P(f ) = R . (b) Bestimmen Sie ein f : R → R mit P (f ) = {0}.

(c) Zeigen Sie, dass P(f ) eine Untergruppe von ( R , +) ist.

2. Welche der folgenden Verkn¨ upfungsgebilde sind Gruppen?

(a) Z mit der Subtraktion.

(b) {−1, 1} mit der Multiplikation.

(c) R mit der Multiplikation.

3. Es sei (G, +) eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0) und M eine nichtleere Menge. Die Menge G sei definiert durch G := {f | f : M → G}. F¨ ur f, g ∈ G definiert man f ⊕ g ∈ G durch (f ⊕ g)(x) := f (x) + g(x) f¨ ur alle x ∈ M .

Zeigen Sie:

(a) (G, ⊕) ist eine abelsche Gruppe.

(b) G ⁰ :=

f ∈ G | {x ∈ M |f (x) 6= 0} ist endlich ist eine Untergruppe von G.

4. Sei (G, ·) eine Gruppe und k ∈ G. F¨ ur a, b ∈ G setze a ∗ b = a · k · b. Zeigen Sie, dass (G, ∗) eine Gruppe ist.

5. Seien (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Zeigen Sie, dass die Abbildung f : G → G mit f (a) = gag ⁻¹ f¨ ur alle a ∈ G ein Gruppenhomomorphismus ist.

6. Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : R ² → R , x

y

7→ 5x − 7y

ein Gruppenhomomorphismus ist (die Verkn¨ upfungen sind in beiden F¨ allen die Addition).

7. Seien G, H Gruppen und f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a) Ist U eine Untergruppe von G, so ist f (U ) eine von H .

(b) Ist V eine Untergruppe von H , so ist f ⁻¹ (V ) eine von G.

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Blatt 4

1. Es seien (A, + 1 ) und (B, + 2 ) abelsche Gruppen, K := A × B und + : K × K → K sei definiert durch (a, b) + (˜ a, ˜ b) := (a + 1 ˜ a, b + 2 ˜ b). Zeigen Sie

(a) (K, +) ist eine abelsche Gruppe, (b) A × {0} ist eine Untergruppe.

(c) ¨ Uberlegen Sie sich ob sich dieses Beispiel auf n abelsche Gruppen verallgemeinern l¨ asst. D.h.

sind A ₁ , . . . , A _n abelsche Gruppen mit n ≥ 3, ist dann mit der obigen +-Definition auch A ₁ × . . . × A _n eine abelsche Gruppe?

2. Es sei S ¹ := {z ∈ C | |z| = 1} und f¨ ur n ∈ N sei E ⁿ := {z ∈ C | z ⁿ = 1}. Zeigen Sie (a) S ¹ ist eine Untergruppe von ( C \ {0}, ·).

(b) E n ist eine Untergruppe von (S ¹ , ·),

(c) die Abbildung p : ( R , +) → (S ¹ , ·) mit ϕ 7→ e ^iϕ ist ein Gruppenhomomorphismus, (d) die Menge E := S ∞

n=0 E n ist eine Untergruppe von (S ¹ , ·).

3. (a) Zeigen Sie, f¨ ur n ∈ N und f¨ ur jede komplexe Zahl z mit z 6= 1 gilt 1 + z + z ² + . . . + z ⁿ = z ⁿ⁺¹ − 1

z − 1 . (b) Benutzen Sie Aufgabe a.) um

1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ = sin(θ/2) + sin[(n + 1/2)θ]

2 sin(θ/2)

f¨ ur jedes θ ∈ R \ 2π Z zu zeigen (Hinweis: Setzen Sie z = e ^iθ in a.) ein, und betrachten Sie die Realteile).

4. Es sei α eine von Null verschiedene komplexe Zahl und es sei H := {z ∈ C | Im(z) > 0}.

(a) Bestimmen Sie den Betrag von α/α.

(b) Zeigen Sie − ¹ _z ∈ H f¨ ur jedes z ∈ H .

5. Seien n ∈ N , a ₀ ,. . . , a _n ∈ R und P : C → C definiert durch P (z) =

n

X

i=0

a i z ⁱ

f¨ ur alle z ∈ C . Zeigen Sie: Ist z ∈ C eine Nullstelle von P, so auch ¯ z.

6. Bestimmen Sie Real– und Imagin¨ arteil der komplexen Zahl z, die L¨ osung der Gleichung (1 + 2i)z + 17

(3 + 5i)z + 3 − 8i = 16 + 3i ist.

7. Zeichnen Sie folgende Teilmengen von C . (a) {z ∈ C | 1 < |z − 3i| < 7}.

(b) {z ∈ C | z + ¯ z + z¯ z < 0}.

(c) {z ∈ C | Im(z ² ) ≤ 4}.

1. Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren des R ⁴ linear unabh¨ angig sind.

(a)







 15

9

−10 7







 ,







 8 5

−2 4







 ,







 6 3

−2 3







 ,







 2 1

−1 1









(b)







 1 5

−7 3







 ,







 32

−14

−23

−21







 ,









−10 8 3 9









2. Wir betrachten den Vektorraum R ³ . Welche der folgenden Teilmengen W von R ³ ist ein Unterraum von R ³ ?

(a) W :=

(a, b, c)|a ² + b ² + c ² ≤ 1 , (b) W := {(a, b, 0)|a, b ∈ R },

(c) W := {(a, b, c)|a, b, c ∈ Q }.

3. Es sei g ⊆ R ⁿ eine Gerade. Zeigen Sie:

(a) g ist ein Unterraum des R ⁿ genau dann, wenn 0 ∈ g.

(b) Wieviele Untervektorr¨ aume hat R ⁿ ? (Begr¨ unden Sie Ihre Antwort).

4. Es sei V ein Vektrorraum ¨ uber dem K¨ orper der reellen Zahlen, und es seien x, y, z drei linear unabh¨ angige Vektoren in V. Zeigen Sie:

(a) x, y − x und x + y sind linear abh¨ angig, (b) x + y, x + z und y + z sind linear unabh¨ angig.

(c) F¨ ur welche λ ∈ R sind x − λy und x + y linear unabh¨ angig?

5. Welche der folgenden Vektortripel spannen den R ³ auf? Was kann man ¨ uber das Tripel sagen, welches den R ³ nicht aufspannt?

(a) u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) und w = (0, 0, 1)

(b) u = (2, 1, 0), v = (1, −1, 2) und w = (0, 3, −4)

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Blatt 6

1. Gegeben sei der reelle Vektorraum R ³ .

(a) Zeigen Sie, dass die Vektoren x 1 = (1, 1, 0), x 2 = (2, 0, −3) und x 3 = (3, 3, 1) eine Basis von R ³ bilden.

(b) Stellen Sie a = (2, −3, 5) als Linearkombination von x ₁ , x ₂ , x ₃ dar.

2. Es sei V ein K -Vektorraum und es seien a ₁ , a ₂ , . . . , a _n , b ₁ , b ₂ , . . . , b _m Elemente aus V mit der Ei- genschaft, dass die Vektoren a 1 , a 2 , . . . , a n sowie die Vektoren b 1 , b 2 , . . . , b m linear unabh¨ angig sind.

Wir definieren A := L({a 1 , a 2 , . . . , a n }) und B := L({b 1 , b 2 , . . . , b m }). Zeigen Sie: Die Vektoren a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b m sind linear unabh¨ angig genau dann, wenn A ∩ B = {0}.

3. Es sei W der Unterraum von R ⁴ , welcher durch die Vektoren (1, −2, 5, −3), (2, 3, 1, −4) und (3, 8, −3, −5) erzeugt wird.

(a) Geben Sie eine Basis und die Dimension von W an.

(b) Erweitern Sie die Basis von W zu einer Basis f¨ ur R ⁴ .

4. Es sei V ein Vektorraum ¨ uber dem K¨ orper K , n ∈ N und v ₁ , . . . , v _n ∈ V. Zeigen Sie:

(a) Sind v ₁ ,. . . , v _n linear abh¨ angig, dann gibt es ein 1 ≤ i ≤ n mit v _i ∈ L({v ₁ , . . . , v _i−1 , v _i+1 , . . . , v _n }).

(b) Sind v ₁ ,. . . , v _n linear unabh¨ angig und x ∈ V \ L({v ₁ , . . . , , v _n }), dann sind v ₁ , . . . , v _n , x linear unabh¨ angig.

5. Es sei V ein Vektorraum ¨ uber dem K¨ orper K und weiters seien a 1 , a 2 . . . , a n , b Vektoren aus V so,

dass a 1 , a 2 . . . , a n linear unabh¨ angig ist. Es gelte, dass die Menge a 1 , a 2 . . . , a n , b linear abh¨ angig

ist. Zeigen Sie, dass b eine Linearkombination der a i mit 1 ≤ i ≤ n ist.

1. Es sei V der Vektorraum der 2 × 2 Matrizen ¨ uber dem K¨ orper R . Sind die folgenden Matrizen A, B und C aus V linear abh¨ angig oder unabh¨ angig?

(a) A = 1 1

1 1

, B = 1 0

0 1

und C = 1 1

0 0

. (b) A =

1 2 3 1

, B =

3 −1

2 2

und C =

1 −5

4 0

.

2. Geben Sie die Dimension des Vektorraumes an, der durch (a) M =

1 2 1 2

, N = 1 1

2 2

, (b) P =

1 1

−1 1

, Q =

−3 −3

3 3

, sowie (c) −3 und 105

erzeugt wird.

3. Es seien U und W Unterr¨ aume des R ⁴ wobei U durch die Vektoren (1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1) und W durch die Vektoren (1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3) erzeugt wird. Zeigen Sie, dass U + V := {u + v | u ∈ U, v ∈ V } ein Unterraum von R ⁴ ist und bestimmen Sie die Dimen- sionen von U + V und U ∩ V .

4. Bestimmen Sie zwei verschiedene Basen des Zeilenraums der Matrix









1 0 2 3 7

−1 1 0 −4 −7

−3 5 4 −14 −21

−1 −4 −10 1 −7







 .

5. Es sei V ein Vektorraum der Dimension 5. Die Unterr¨ aume U und W von V haben beide die

Dimension 3. Zeigen Sie: U ∩ W kann nicht der Nullraum sein.

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Blatt 8

1. Es seien U, V Unterr¨ aume des R ⁴ , wobei U von den Vektoren (1, −1 − 2, −3), (3, −2, 6, −9), (4, 1, 9, −12) und V von Vektoren (6, −12, 20, −17), (7, −9, 23, −20), (4, −11, 16, −11) erzeugt wird.

Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V .

2. Es sei F der Vektorraum aller Funktionen [−1, 1] → R . Definiere F _g , F _u ⊂ F durch:

F _g = {f ∈ F | ∀x ∈ [−1, 1] : f (−x) = f (x)}, F _u = {f ∈ F | ∀x ∈ [−1, 1] : f (−x) = −f (x)} . Zeigen Sie, dass F g und F u Unterr¨ aume von F sind und dass F = F g ⊕ F u gilt.

3. Es sei V ein K -Vektorraum. Die Abbildung f : V → V sei linear und a 1 , . . . , a n ∈ V. Zeigen Sie:

Sind f (a 1 ), . . . f(a n ) linear unabh¨ angig, so sind auch a 1 , . . . a n linear unabh¨ angig.

Welche Eigenschaft muss f haben, damit aus der linearen Unabh¨ angigkeit der a i die der f (a i ) folgt?

4. Zeigen Sie: Es gibt genau eine lineare Abbildung f : R ³ → R mit

f ((1, 1, 1)) = 4, f ((1, −1, 1)) = 8, f ((1, −1, −1)) = −4.

Bestimmen Sie a, b, c ∈ R so dass f ((x, y, z)) = ax + by + cz f¨ ur alle a, y, z ∈ R gilt.

5. Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

(a) f : R ³ → R ² definiert durch f ((x, y, z)) = (|x|, 0)

(b) f : R ² → R ³ definiert durch f ((x, y)) = (x + 1, 2y, x + y) (c) f : R ³ → R ² definiert durch f ((x, y, z)) = (x, x + y)

6. Gegeben seien die linearen Abbildungen f , g, h: R ³ → R ² mit

f ((x, y, z)) = (x + y + z, x + y), g((x, y, z)) = (2x + z, x + y), h((x, y, z)) = (2y, x) . Zeigen Sie, dass f, g, h ∈ Hom( R ³ , R ² ) linear unabh¨ angig sind .

7. Es sei V ein Vektorraum ¨ uber dem K¨ orper K und T : V → V sei eine lineare Abbildung, weiters sei

x ∈ V so, dass T ^m x = 0 und T ^m−1 x 6= 0 f¨ ur eine nat¨ urliche Zahl m gilt. Zeigen Sie: x, T x, . . . , T ^m−1 x

sind linear unabh¨ angig.

1. Untersuchen Sie, ob die Matrix

A =









1 1 3 10

2 3 8 21

1 2 6 13

−1 4 6 −6









invertierbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls A ⁻¹ .

2. Zeigen oder widerlegen Sie: F¨ ur jede komplexe 2 × 2 Matrix A gibt es eine 2 × 2 Matrix B so dass A = B ² ist.

3. Wir betrachten die komplexe 3 × 3 Matrix A =





a 0 a 1 a 2

a 2 a 0 a 1

a 1 a 2 a 0



 mit a ₀ , a ₁ , a ₂ ∈ C . Zeigen Sie:

A = a ₀ I ₃ + a ₁ E + a ₂ E ² , mit E =





0 1 0 0 0 1 1 0 0



. Verallgemeinern Sie diese Aussage auf n × n

Matrizen.

4. Es sei die 3 × 3 Matrix A gegeben durch A =





2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2



. Zeigen Sie: Jede reelle Matrix B

mit der Eigenschaft AB = BA ist von der Form B = aI ₃ + bA + cA ² mit reellen Zahlen a, b, c.

5. Gegeben seien die komplexen Matrizen A =









0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0









und B =









i 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −i 0

0 0 0 1







 . Wir

definieren C durch C := AB − iAB. Zeigen Sie: C ³ + C ² + C = 0.

6. Es sei V der Vektorraum aller reeller Folgen und die Abbildung ∆ : V → V sei definiert durch

∆((a i ) i∈ N ) := (a i+1 − a i ) i∈ N . Zeigen Sie, dass ∆ linear ist, dass ker(∆) isomorph zu R ist, und dass

rg(∆) = V gilt.

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Blatt 10

1. F¨ ur welche Werte α ∈ R ist die Matrix A =





1 1 1

1 1 α

1 α 1



 invertierbar? Berechnen Sie die Inverse der Matrix A und machen Sie die Probe.

2. Es sei T : R ³ → R ³ definiert durch T(x, y, z) = (2y + z, x − 4y, 3x) eine lineare Abbildung. Geben Sie die Matrix von T bez¨ uglich der Basis a 1 = (1, 1, 1), a 2 = (1, 1, 0), a 3 = (1, 0, 0) an.

3. Zeigen Sie, dass die Abbildung f : R ³ → R ² definiert durch f (x, y, z) = (2x + 3y, y + 2z) R -linear ist. Bestimmen Sie ker(f ) und rg(f ). Was ist f ⁻¹ ({(1, 0)})?

4. Es sei V ein K -Vektorraum und f : V → V linear. F¨ ur ein n ∈ N definieren wir f ⁿ durch f ¹ := f , falls n = 1 ist und f ⁿ := f ⁿ⁻¹ ◦ f , f¨ ur n ≥ 2. Zeigen Sie:

(a) ker(f ) ⊆ ker(f ² ) ⊆ . . . ⊆ ker(f ⁿ ) ⊆ . . .

(b) Ist V endlichdimensional, dann existiert ein n 0 ∈ N , so dass ker(f ⁿ ) = ker(f ⁿ

) f¨ ur alle n ≥ n 0 .

5. Es seien f 1 , f 2 , . . . , f m : V → K K -linear. Zeigen Sie: F : V → K ^m , F (x) := (f 1 (x), f 2 (x), . . . , f m (x)) ist linear, und dass f 1 , f 2 , . . . , f m genau dann linear unabh¨ angig sind, wenn F surjektiv ist.

6. Es sei F : R ³ → R ² die lineare Abbildung, die durch F (x, y, z) = (3x + 2y −4z, x −5y + 3z) definiert ist. Geben Sie die Matrixdarstellung von F in den folgenden Basen von R ³ und R ² an:

{f 1 = (1, 1, 1), f ₂ = (1, 1, 0), f ₃ = (1, 0, 0)}, {g 1 = (1, 3), g ₂ = (2, 5)}.

1. Es seien V ein Vektorraum ¨ uber K und W , W ⁰ Unterr¨ aume von V . Wir betrachten den Faktorraum V /W , die kanonische Projektion p: V → V /W und die Einschr¨ ankung von p auf W ⁰ , p _|W

: W ⁰ → V /W . Zeigen Sie:

(a) Ist V endlich dimensional, so gilt dim(V /W ) = dim(V ) − dim(W ).

(b) Es gilt genau dann V = W ⊕ W ⁰ , wenn p _|W

ein Isomorphismus ist.

2. Unter einem endlichen Kettenkomplex C versteht man eine Folge von linearen Abbildungen 0 ^f

→ V n

f

→ . . . → ^f

V 1 f

→ V 0 f

→ 0

mit der Eigenschaft f i ◦ f i+1 = 0 f¨ ur i = 0, . . . n, das heißt rg(f i+1 ) ⊂ ker f i f¨ ur i = 0, . . . n. F¨ ur i = 0, . . . n heißt der Quotientenvektorraum

H i (C) := ker f i /rg(f i+1 )

i − te Homologie des Komplexes. Zeigen Sie: Sind alle V i endlich dimensional, so gilt

n

X

i=0

(−1) ⁱ dim V i =

n

X

i=0

(−1) ⁱ dim H i (C).

3. Berechnen Sie die Determinante der Matrix









2 5 −3 −2

−2 −3 2 −5

1 3 −2 2

−1 −6 4 3







 .

4. Wir betrachten den Vektorraum M ₂ ( R ) der reellen 2 × 2 Matrizen.

(a) Zeigen Sie, dass

B =

1 0 0 0

, 1 1

0 0

, 1 1

1 0

, 1 1

1 1

eine Basis von M 2 ( R ) ist.

(b) Sei M = a b

c d

∈ M 2 ( R ). Zeigen Sie, dass die Abbildung T : M 2 ( R ) → M 2 ( R ), A 7→ M A linear ist.

(c) Es sei C die Matrix von T bez¨ uglich der Basen B, B. Berechnen Sie det(C).

5. Es seien x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ R ² , x 6= y und g sei die Gerade durch x und y. Zeigen Sie

g = {(z 1 , z ₂ ) ∈ R ² | det





1 x ₁ x ₂ 1 y ₁ y ₂ 1 z 1 z 2



 = 0}.