(3)Ringe Unter einemRingRversteht man eine Menge zusammen mit zwei Operationen+(Addition) und×(Multiplikation), die folgenden Axiomen genügen: (+,R)ist eine abelsche (kommutative) Gruppe mit neutralem Element 0

Algorithmische Zahlentheorie

ICPC-Proseminar-Vortrag vom 22. Mai 2010

Tomáš Pˇrerovský

Abschnitt 1:Grundlagen.

Ringe

Unter einemRingRversteht man eine Menge zusammen mit zwei Operationen+(Addition) und×(Multiplikation), die folgenden Axiomen genügen:

(+,R)ist eine abelsche (kommutative) Gruppe mit neutralem Element 0.

Die Multiplikation ist assoziativ.

Es gelten die Distributiv-Gesetze :

(a+b)c=ac+bc c(a+b) =ca+cb

Ringe

Unter einemRingRversteht man eine Menge zusammen mit zwei Operationen+(Addition) und×(Multiplikation), die folgenden Axiomen genügen:

(+,R)ist eine abelsche (kommutative) Gruppe mit neutralem Element 0.

Die Multiplikation ist assoziativ.

Es gelten die Distributiv-Gesetze :

(a+b)c=ac+bc c(a+b) =ca+cb

Ringe

Unter einemRingRversteht man eine Menge zusammen mit zwei Operationen+(Addition) und×(Multiplikation), die folgenden Axiomen genügen:

(+,R)ist eine abelsche (kommutative) Gruppe mit neutralem Element 0.

Die Multiplikation ist assoziativ.

Es gelten die Distributiv-Gesetze :

(a+b)c=ac+bc c(a+b) =ca+cb

Ringe

Unter einemRingRversteht man eine Menge zusammen mit zwei Operationen+(Addition) und×(Multiplikation), die folgenden Axiomen genügen:

(+,R)ist eine abelsche (kommutative) Gruppe mit neutralem Element 0.

Die Multiplikation ist assoziativ.

Es gelten die Distributiv-Gesetze : (a+b)c=ac+bc c(a+b) =ca+cb

Integritätsbereiche

Ein nullteilerfreier kommutativer RingR mit Einselement heißt Integritätsring.Dabei bedeutet

Nullteilerfreiheit, wenn gilt : x ×y =0⇒x =0∨y =0.

Kommutativität, daßdie×Operation kommutativ ist:

a×b=b×a

Einselement, daßes ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt :∃e∈R ∀x :x ×e=e×x =x

Integritätsbereiche

Ein nullteilerfreier kommutativer RingR mit Einselement heißt Integritätsring.Dabei bedeutet

Nullteilerfreiheit, wenn gilt : x ×y =0⇒x =0∨y =0.

Kommutativität, daßdie×Operation kommutativ ist:

a×b=b×a

Einselement, daßes ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt :∃e∈R ∀x :x ×e=e×x =x

Integritätsbereiche

Ein nullteilerfreier kommutativer RingR mit Einselement heißt Integritätsring.Dabei bedeutet

Nullteilerfreiheit, wenn gilt : x ×y =0⇒x =0∨y =0.

Kommutativität, daßdie×Operation kommutativ ist:

a×b=b×a

Einselement, daßes ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt :∃e∈R ∀x :x ×e=e×x =x

Integritätsbereiche

Ein nullteilerfreier kommutativer RingR mit Einselement heißt Integritätsring.Dabei bedeutet

Nullteilerfreiheit, wenn gilt : x ×y =0⇒x =0∨y =0.

Kommutativität, daßdie×Operation kommutativ ist:

a×b=b×a

Einselement, daßes ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt :∃e∈R ∀x :x ×e=e×x =x

Wichtigste Beispiele für Integritätsbereiche

Die wichtigsten Beispiele für Integritätsringe sind : Die Menge der ganzen ZahlenZ.

Der Polynomring in einer UnbestimmtenX :

anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₂X²+a₁X+a₀

Der Ring der Gaußschen ZahlenZ[i]:

Z[i] :={n+im ∈C :n,m∈Z}

Wichtigste Beispiele für Integritätsbereiche

Die wichtigsten Beispiele für Integritätsringe sind : Die Menge der ganzen ZahlenZ.

Der Polynomring in einer UnbestimmtenX :

anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₂X²+a₁X+a₀

Der Ring der Gaußschen ZahlenZ[i]:

Z[i] :={n+im ∈C :n,m∈Z}

Wichtigste Beispiele für Integritätsbereiche

Die wichtigsten Beispiele für Integritätsringe sind : Die Menge der ganzen ZahlenZ.

Der Polynomring in einer UnbestimmtenX :

anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₂X²+a₁X+a₀

Der Ring der Gaußschen ZahlenZ[i]:

Z[i] :={n+im ∈C :n,m∈Z}

Wichtigste Beispiele für Integritätsbereiche

Die wichtigsten Beispiele für Integritätsringe sind : Die Menge der ganzen ZahlenZ.

Der Polynomring in einer UnbestimmtenX :

anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₂X²+a₁X+a₀

Der Ring der Gaußschen ZahlenZ[i]:

Z[i] :={n+im ∈C :n,m∈Z}

Einheiten

Ein Elementu ∈RheißtEinheit, wenn einv ∈Rexistiert mit u×v =1. Die Menge aller Einheiten inR wird mitR^∗

bezeichnet.R^∗ ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x,y ∈R\ {0}heißenassoziiert, falls eine Einheitu ∈R existiert mitx =u×y.

Beispiele.

Z^∗ ={1,−1}

Z[i]^∗={1,−1,i,−i}

K[X]^∗=K^∗ =K \ {0}

Einheiten

Ein Elementu ∈RheißtEinheit, wenn einv ∈Rexistiert mit u×v =1. Die Menge aller Einheiten inR wird mitR^∗

bezeichnet.R^∗ ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x,y ∈R\ {0}heißenassoziiert, falls eine Einheitu ∈R existiert mitx =u×y.

Beispiele.

Z^∗ ={1,−1}

Z[i]^∗={1,−1,i,−i}

K[X]^∗=K^∗ =K \ {0}

Einheiten

Ein Elementu ∈RheißtEinheit, wenn einv ∈Rexistiert mit u×v =1. Die Menge aller Einheiten inR wird mitR^∗

bezeichnet.R^∗ ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x,y ∈R\ {0}heißenassoziiert, falls eine Einheitu ∈R existiert mitx =u×y.

Beispiele.

Z^∗ ={1,−1}

Z[i]^∗={1,−1,i,−i}

K[X]^∗=K^∗ =K \ {0}

Einheiten

Ein Elementu ∈RheißtEinheit, wenn einv ∈Rexistiert mit u×v =1. Die Menge aller Einheiten inR wird mitR^∗

bezeichnet.R^∗ ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x,y ∈R\ {0}heißenassoziiert, falls eine Einheitu ∈R existiert mitx =u×y.

Beispiele.

Z^∗ ={1,−1}

Z[i]^∗={1,−1,i,−i}

K[X]^∗=K^∗ =K \ {0}

Teilbarkeit

Seienx,y zwei Elemente eines IntegritätsbereichsR. Man sagt x teilty, in Zeichenx |y, wenn einq∈Rexistiert mity =qx. Gilt nichtx |y, so schreibt manx -y.

Bemerkung. Es gilt stetsx |0 aber füry 6=0 gilt immer 0-y.

Grösster gemeinsamer Teiler

Definition.Seienx,y zwei Elemente eines Integritätsbereichs R. Ein Elementd ∈Rheißtgrößter gemeinsamer Teilervon x undy, falls folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

d |x undd |y

Istd⁰∈Rein weiteres Element mitd⁰ |x undd⁰ |y, so folgtd⁰ |d.

Anmerkung.

Der grösste gemeinsame Teiler ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt, d.h. seiend,d⁰ grösste gemeinsame Teiler vonx,y, dann giltd =ud⁰ mitu∈R^∗.

Zwei Elementex,y ∈Rheißen teilerfremd, falls 1 grösster gemeinsamer Teiler ist.

Grösster gemeinsamer Teiler

Definition.Seienx,y zwei Elemente eines Integritätsbereichs R. Ein Elementd ∈Rheißtgrößter gemeinsamer Teilervon x undy, falls folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

d |x undd |y

Istd⁰∈Rein weiteres Element mitd⁰ |x undd⁰ |y, so folgtd⁰ |d.

Anmerkung.

Der grösste gemeinsame Teiler ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt, d.h. seiend,d⁰ grösste gemeinsame Teiler vonx,y, dann giltd =ud⁰ mitu∈R^∗.

Zwei Elementex,y ∈Rheißen teilerfremd, falls 1 grösster gemeinsamer Teiler ist.

Grösster gemeinsamer Teiler

Definition.Seienx,y zwei Elemente eines Integritätsbereichs R. Ein Elementd ∈Rheißtgrößter gemeinsamer Teilervon x undy, falls folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

d |x undd |y

Istd⁰∈Rein weiteres Element mitd⁰ |x undd⁰ |y, so folgtd⁰ |d.

Anmerkung.

Der grösste gemeinsame Teiler ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt, d.h. seiend,d⁰ grösste gemeinsame Teiler vonx,y, dann giltd =ud⁰ mitu∈R^∗.

Zwei Elementex,y ∈Rheißen teilerfremd, falls 1 grösster gemeinsamer Teiler ist.

Grösster gemeinsamer Teiler

Definition.Seienx,y zwei Elemente eines Integritätsbereichs R. Ein Elementd ∈Rheißtgrößter gemeinsamer Teilervon x undy, falls folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

d |x undd |y

Istd⁰∈Rein weiteres Element mitd⁰ |x undd⁰ |y, so folgtd⁰ |d.

Anmerkung.

Der grösste gemeinsame Teiler ist bis auf Einheiten eindeutig bestimmt, d.h. seiend,d⁰ grösste gemeinsame Teiler vonx,y, dann giltd =ud⁰ mitu∈R^∗.

Zwei Elementex,y ∈Rheißen teilerfremd, falls 1 grösster gemeinsamer Teiler ist.

Euklidischer Ring

Definition.Ein IntegritätsbereichR heißteuklidischer Ring, falls es eine Funktionβ :R→Ngibt, so daß folgendes gilt : Für je zwei Elementex,y ∈R,y 6=0, existiert eine Darstellung

x =qy+r, q,r ∈R wobeir =0 oderβ(r)< β(y).

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Die wichtigsten Beispiele für euklidische Ringe

Satz.¹Die RingeZ,Z[i]undK[X]für einen beliebigen Körper K sind euklidisch.

FürZdefiniereβ(x) :=|x |

FürZ[i]definiereβ(x₁+ix₂) :=x₁²+x₂²

Im PolynomringK[x]definiereβ(P) :=deg(P)als den Grad des Polynoms. Dabei ist der Grad von

P(X) =Pn

i=0a_iXⁱ der höchste Koeffizient6=0. Der Grad des Null-Polynoms ist 0.

1

Hauptsatz über euklidische Ringe

Nun kommen wir zumHauptsatzüber euklidische Ringe.

Satz.In einem euklidischen RingR besitzen je zwei Elemente x,y ∈R einen grössten gemeinsamen Teiler.

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Beweis des Hauptsatzes über euklidische Ringe

Beweis.Fallsy =0, istx ein größter gemeinsamer Teiler.

ObdA seiy 6=0. Seiβ :R→Ndie Betragsfunktion. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über die natürliche Zahl β(y).

Induktionsanfangβ(y) =0.

Dann bleibt bei der Division vonx durchy kein Rest, also isty größter gemeinsamer Teiler.

Induktionsschritt.Division mit Rest liefert:

x =qy +r, wobeir =0 oderβ(r)< β(y). (1) Fallsr =0 isty größter gemeinsamer Teiler. Andernfalls

können wir die Induktionsvoraussetzung aufy,r anwenden. Sei d größter gemeinsamer Teiler vony undr. Dann giltd |x und d |y. Zudem folgt ausd⁰ |x undd⁰ |y, daß d⁰ |r, also

aufgrund der Definition vond auchd⁰ |d.q.e.d.

gcd(x,y)

Für ganze Zahlenx,y ist der größte gemeinsame Teiler bis auf einen Faktor±1 eindeutig bestimmt. Den eindeutig bestimmten nicht-negativen größten gemeinsamen Teiler bezeichnen wir mitgcd(x,y)(von engl.greatest common divisior).

Die Idee des Beweises ist sehr einfach : Führe die Berechnung vongcd(x,y)auf die vongcd(y,x mody)zurück.

Beispiel:

gcd(100,35) =gcd(35,100 mod 35) =gcd(35,30) = gcd(30,5) =gcd(5,0) =5.

Erste Version des Euklidischen Algorithmus

Der Beweis des Hauptsatzes liefert unmittelbar einen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers, den vor über 2000 Jahren gefundeneneuklidischen Algorithmus(in C++):

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Worst Case Laufzeit: im Falle zweier benachbarter Fibonacci-Zahlen

Der euklidische Algorithmus benötigt für zwei benachbarte Fibonacci-ZahlenF_n,F_n+1aufgrund der Identität

F_n+1=1·F_n+F_n−1

nDivisionen mit Rest. Eine einfache Überlegung², zeigt dass dies gleichzeitig auch die maximale Anzahl von Divisionen für x,y mitx,y ≤F_n+1ist. DaF_n = ^√1₅

gⁿ− ⁽⁻¹⁾_gnⁿ

ist, wobei g:= ¹₂(1+√

5)der goldene Schnitt ist. Ist die worstcase Komplexität des euklidischen AlgorithmusO(logn).

2Details entnehme man z.B. [Fo] Seite 26

Bevor’s weiter geht: nichtrekursive Version des euklidischen Algorithmus

Abschnitt 2:Der erweiterte euklidische Algorithmus.

Wir können nun den gcd zweier Zahlen berechnen, aber die folgende Aufgabe fordert mehr !

Zurück zur Theorie: Ideale

Definition.Eine TeilmengeI⊂Reines kommutativen Ringes RheisstIdeal, wenn gilt:

Iist eine additive Unterruppe vonR, d.h.Iist nicht leer und x,y ∈I⇒x+y ∈I∧ −x ∈I

Für alleλ∈Rundx ∈Igiltλx ∈I

Zurück zur Theorie: Ideale

Definition.Eine TeilmengeI⊂Reines kommutativen Ringes RheisstIdeal, wenn gilt:

Iist eine additive Unterruppe vonR, d.h.Iist nicht leer und x,y ∈I⇒x+y ∈I∧ −x ∈I

Für alleλ∈Rundx ∈Igiltλx ∈I

Zurück zur Theorie: Ideale

Definition.Eine TeilmengeI⊂Reines kommutativen Ringes RheisstIdeal, wenn gilt:

Iist eine additive Unterruppe vonR, d.h.Iist nicht leer und x,y ∈I⇒x+y ∈I∧ −x ∈I

Für alleλ∈Rundx ∈Igiltλx ∈I

Beispiele

Für ein beliebiges Elementx ∈Rist Rx ={λx :λ∈R}

ein Ideal. Es ist das kleinste Ideal vonR, dasx enthält und heißt das vonx erzeugteHauptidealund wird mit(x) bezeichnet.

Allgemeiner : seienx₁,· · ·,xr ∈R. Dann ist

Rx₁+· · ·+Rx_r ={λx₁+· · ·+λx_r :λ1, . . . , λr ∈R}

ebenfalls ein Ideal, das vonx₁, . . . ,x_r erzeugte Ideal. Es wird mit(x₁,· · · ,x_r)bezeichnet.

Beispiele

Für ein beliebiges Elementx ∈Rist Rx ={λx :λ∈R}

ein Ideal. Es ist das kleinste Ideal vonR, dasx enthält und heißt das vonx erzeugteHauptidealund wird mit(x) bezeichnet.

Allgemeiner : seienx₁,· · ·,xr ∈R. Dann ist

Rx₁+· · ·+Rx_r ={λx₁+· · ·+λx_r :λ1, . . . , λr ∈R}

ebenfalls ein Ideal, das vonx₁, . . . ,x_r erzeugte Ideal. Es wird mit(x₁,· · · ,x_r)bezeichnet.

Beispiele

Für ein beliebiges Elementx ∈Rist Rx ={λx :λ∈R}

ein Ideal. Es ist das kleinste Ideal vonR, dasx enthält und heißt das vonx erzeugteHauptidealund wird mit(x) bezeichnet.

Allgemeiner : seienx₁,· · ·,xr ∈R. Dann ist

Rx₁+· · ·+Rx_r ={λx₁+· · ·+λx_r :λ1, . . . , λr ∈R}

ebenfalls ein Ideal, das vonx₁, . . . ,x_r erzeugte Ideal. Es wird mit(x₁,· · · ,x_r)bezeichnet.

Euklidische Ringe sind Hauptidealringe

Satz.SeiR ein Integritätsbereich. Dann gilt fürx,y ∈R x |y ⇐⇒ (y)⊂(x)

Beweis.´⇒´ Aus x |y folgty =qx für ein geeignetesq∈R, alsoλy =λqx ∈(x)∀λ∈R, d.h.(y)⊂(x).

⇐. Aus(y)⊂(x)folgty ∈(x), d.h.y =λx mitλ∈R. Das bedeutet aberx |y

Euklidische Ringe sind Hauptidealringe

Corollar.Seienx₁, . . . ,x_r ∈RElemente eines

IntegritätsbereichsR. Ein Elementd ∈Rist genau dann gemeinsamer Teiler derx_i, d.h.d |x_i für allei=1, . . . ,r, wenn

(x₁, . . . ,xr)⊂(d)

Euklidische Ringe sind Hauptidealringe

Definition.Ein IntegritätsbereichR heisstHauptidealring, wenn jedes IdealI⊂Rein Hauptideal ist, d.h. eind ∈R existiert mitI= (d).

Euklidische Ringe sind Hauptidealringe

Es gilt nun der wichtige

Satz.Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

BeweisSiehe Ausarbeitung.

Euklidische Ringe sind Hauptidealringe

Corollar.Seienx₁, . . . ,xr Elemente eines HauptidealringsR undd ein größter gemeinsamer Teiler derx_i. Dann gibt es Elementeλ₁, . . . , λr ∈Rmit

d =λ1x₁+. . .+λrx_r

Der erweiterte euklidische Algorithmus

Es wird solange mit Rest geteilt,

x_i−1=q_ix_i+x_i+1, i =1, . . . ,n

bis der Rest 0 bleibt, d.h.x_n+1=0 aberx_n=0. Schreibt man dies in Matrizenform lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

x_i x_i+1

=Q_i x_i−1

x_i

,wobeiQ_i =

0 1 1 −q_i

Der erweiterte euklidische Algorithmus

Daraus erhält man dann:

x_i x_i+1

=Q_n·Q_n−1· · · · ·Q₁ x₀

x₁

.

Der erweiterte euklidische Algorithmus

Man muss also nur sukzessive die Matrizen

∆₀:=

1 0 0 1

,∆_i :=

0 1 1 −q_i

∆i−1

ausrechnen.

Der erweiterte euklidische Algorithmus : C++ Code

Abschnitt 3:Der RestklassenringZ/mZ.

Definition von x ≡ y mod mZ

Definition.Seimeine ganze Zahl. Betrachte das Hauptideal mZ⊂Zund führe folgendeÄquivalenzrelationein: Zwei Zahlenx,y ∈Zheißen äquivalent modulom, oder auch kongruent modulomin Zeichen

x ≡y modmZ, wennx−y ∈mZ

Einfache Tatsachen zuZ/mZ

Fürm=0,1 haben wir die Trivialfälle der Identität bzw. der RelationZ×Z. Im Fallem≥2 sind zwei Zahlenx,y genau dann äquivalent modm, wenn sie bei Division durchm denselben Restr ∈ {0,1, . . . ,m−1}lassen. Die Menge

{0,1, . . . ,m−1}

stellt deshalb ein vollständiges Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen modmZdar und daher hatZ/mZgenau mElemente. Die Äquivalenzklasse einer Zahlx wird mitx modm,[x]oderx¯bezeichnet. Damit schreibt man :

Z/mZ={0,1, . . . ,m−1}.

Z/mZ ist ein Ring

Definition.AufZ/mZwird eine Addition und eine Multiplikation erklärt:

x +y :=x +y x·y :=x ·y

Die Ringaxiome für die Addition und Multiplikation vererben sich aufZ/mZ, so dassZ/mZwiederum ein kommutativer Ring mit Einselement ist.

Beispiel

Im RingZ/5Zgilt

2+3=5=0 und

2·3=6=1 also gilt inZ/5Z:−2=3 und 2⁻¹=3

φ : Z/mZ →Z ist ein Ring-Homomorphismus

Definiert man die Abbildungφ:Z/mZ→Zvermittelsφ(x) :=x so istφein sogenannter Ringhomomorphismus. Die

Eigenschaften dieses Homomorphismus sind explizit oder implizit Gegenstand zahlreicher ICPC - Aufgaben.

Beispiel

Wann ist ein Element x in Z/mZ invertierbar ?

Satz.Die Restklassex modmist im RingZ/mZgenau dann invertierbar, wenngcd(x,m) =1 alsox undmrelativ prim sind.

Beweis.Einfache Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus.

Wann ist Z/mZ sogar ein Körper ?

CorollarFür jede Primzahlp istZ/pZein Körper.

Chinesischer Restsatz : Vorbemerkung

Wir kommen nun zum sog. Chinesischen Restsatz. Der

vorallem wegen seiner theoretischen Bedeutung eine tragende Rolle im Aufbau der algebraischen Zahlentheorie spielt. Zuerst aber eine

Definition.SeienA₁, . . . ,A_r Ringe. Unter dem direkten Produkt der RingeA₁, . . . ,Ar versteht man die Menge

A:=A₁×. . .×A_r

mit der komponentenweise erklärten Addition bzw.

Multiplikation istAein Ring.

Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz.Seim>1 eine natürliche Zahl und m=m₁·m₂· · ·mr

eine Zerlegung vonmin paarweise teilerfremde Zahlenm_i >1.

Dann ist die kanonische Abbildung

Φ :Z/mZ→(Z/m₁Z)×(Z/mrZ), x mod m7→(x modm₁, . . . ,y mod m_r) ein Ring-Isomorphismus.

Zuerst eine theoretische Anwendung

Bevor wir uns dem Beweis und damit der genauen Struktur der AbbildungΦzuwenden, soll anhand eines prominenten

Beispiels die theoretische Durchschlagskraft demonstriert werden.

Euler’sϕ-Funktion

Für eine natürliche Zahlm>1 bezeichneϕ(m)die Anzahl der zumteilerfremdenZahlen<m. Wir suchen nun nach einer geschlossenen Darstellung dieser Funktion, und können bei dieser Gelegenheit die Mächtigkeit der bisher eingeführten Begriffe demonstrieren.

1. Schritt : Abbilden des Problems in die Sprache der Restklassen

Welche Menge hat dieselbe Anzahl wie die Menge der zum teilerfremden Zahlen<m?

(Z/mZ)^∗!

Es gilt :

ϕ(m) =Card((Z/mZ)^∗).

2. Schritt : Anwendung der Primfaktorzerlegung

Seip^k₁¹p^k₂²· · ·p_r^kr die Primfaktorzerlegung vonm.

3. Schritt : Nun können wir den chinesischen Restsatz anwenden

Es gilt jaZ/mZ∼= (Z/p₁^k1Z)× · · · ×(Z/p_r^krZ)

und damit auch(Z/mZ)^∗∼= (Z/p₁^k1Z)^∗× · · · ×(Z/p^k_r^rZ)^∗

ϕ(m) = Q

Card((Z/p_i^ki)^∗)

Also istϕ(m) =Card((Z/mZ)^∗) =Q

Card((Z/p^k_iⁱZ)^∗)

Card((Z/p^k_iⁱZ)^∗) ?

Was ist aberCard((Z/p_i^kiZ)^∗)? D.h. die Anzahl der Zahlen in {0,1, . . . ,p^k −1}die teilerfremd sind zup^k_iⁱ ?

Dapprim ist sind unter den Zahlen{0, . . . ,p^k−1}nur genau die Vielfachen vonpnicht teilerfremd. Somit ist

Card((Z/p_i^kiZ)^∗) =p^ki −p^ki−1 und wir erhalten den Satz:

ϕ(m) =

r

Y

i=1

(p^k_iⁱ −p^k_iⁱ⁻¹) =m

r

Y

i=1

1− 1

p_i

Zurück zum Chinesischen Restsatz

DassΦein (Ring-)Homomorphismus ist, ist klar. Wir interessieren uns also dafür obΦbijektiv ist, insbesondere interessiert uns die explizite Angabe des Urbilds von

a∈Bild{Φ}. Können wir nebenbei zeigen, dassΦsurjektiv ist fällt uns die Injektivität und damit die Bijektivität automatisch in die Hände (Warum ?).

Was ist das Urbild vone_i = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) ?

Wir müssen eine ganze Zahlu_i finden, so dass

u_i ≡1 modm_i und (2)

u_i ≡0 modm_k fürk 6=i (3) Seiz_i :=Q

k6=im_k =m/m_i. Dann istz_i ≡0 modm_k für alle k 6=i. Außerdem sindz_i undm_i teilerfremd, demnach gibt es eine ganze Zahly_i mitz_iy_i ≡1 modm_i. Die Zahlu_i :=z_iy_i erfüllt die geforderten Bedingungen. Sind nunx_i beliebige ganze Zahlen, so gilt fürx =Pr

i=1x_iu_i:

x ≡x_i modm_i ∀i=1, . . . ,r. Damit ist die Surjektivität vonΦgezeigt.

Weiterführende Literatur I

Michael Artin.

Algebra.

Prentice-Hall, 1991.

Otto Forster.

Algorithmische Zahlentheorie.

Vieweg, 1996.

Thomas H Cormen, et al.

Introduction to Algorithms.

MIT Press, 2009.

Johannes Buchmann.

Einführung in die Kryptographie.

Springer Verlag, 2003.

Weiterführende Literatur II

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik.

Concrete Mathematics.

Addison-Wesley, 1994.