Ronald St ¨over SoSe 2008
Zusammenfassung:
R ¨ uckw ¨artsanalyse des Gauß-Algorithmus
Im Folgenden sind in kompakter Form und ohne Beweise die Resultate der R ¨uckw ¨artsanalyse des Gauß-Algorithmus zusammengefasst. F ¨ur Einzelheiten siehe beispielsweise [1], [2].
Sei
x ˜
eine N ¨aherungsl ¨osung f ¨ur das GleichungssystemAx = b
, die via LU-Zerlegung mit Spal- tenpivotisierung sowie Vorw ¨arts- und R ¨uckw ¨artseinsetzen berechnet wurde. F ¨ur die R ¨uckw ¨arts- analyse sollx ˜
als L ¨osung eines gest ¨orten Gleichungssystems interpretiert werden, wobei hier nur St ¨orungen vonA
betrachtet werden. Das Ziel ist eine Absch ¨atzungk∆Ak
kAk ≤ η u + O(u
2)
f ¨ur alle∆A
mit(A + ∆A)˜ x = b ,
wobei der Stabilit ¨atsindikatorη ≈ 1
ist.Benutzt werden die Notationen
|A| :=
|a
ij|
∈
Rn×n f ¨urA = a
ij∈
Rn×n und|A| ≤ |B | : ⇐⇒ |a
ij| ≤ |b
ij|
f ¨ur allei, j .
Lemma 1: Sei
L ∈
Rn×n untere Dreiecksmatrix,y ˜
durch Vorw ¨artseinsetzen berechnete L ¨osung vonLy = b
.⇒ ∃ ∆L ∈
Rn×n: (L + ∆L)˜ y = b , |∆L| ≤ n · u · |L| + O(u
2)
Eine analoge Aussage gilt f ¨ur obere DreiecksmatrizenU
.Lemma 2: Sei
( ˜ L, U , ˜ P ˜ )
eine fehlerbehaftete LU-Zerlegung vonA
, seix ˜
die damit berechnete N ¨aherungsl ¨osung vonAx = b
.⇒ ∃ ∆A ∈
Rn×n: (A + ∆A)˜ x = b , |∆A| ≤ n ·
3|A| + 5| L|| ˜ U ˜ || P ˜ |
· u + O(u
2)
Satz von Wilkinson [2]: Sei
x ˜
die durch den Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotisierung berech- nete N ¨aherungsl ¨osung vonAx = b
.⇒ ∃ ∆A ∈
Rn×n: (A + ∆A)˜ x = b , k∆Ak
∞kAk
∞≤ 8n
3· ρ(A) · u + O(u
2)
Dabei istρ(A) := max
i,j,k|˜ a
(k)ij| kAk
∞,
wenn
max
i,j,k|˜ a
(k)ij|
den gr ¨oßten, w ¨ahrend der Durchf ¨uhrung des Algorithmus auftretenden Ma- trixeintrag bezeichnet.Wie muss dieses Ergebnis interpretiert werden?
•
Der Faktor8n
3resultiert aus Normabsch ¨atzungen und ist praktisch vernachl ¨assigbar.•
Allerdings gibt es Beispiele (s.u.), f ¨ur dieρ(A) = O(2
n−1)
gilt. Also ist der Satz von Wil- kinson kein formaler Beweis f ¨ur die R ¨uckw ¨artsstabilit ¨at des Gauß-Algorithmus – und ein solcher ist leider generell nicht bekannt.•
Aber in der Praxis hat der Gauß-Algorithmus fast ausnahmslos als stabil erwiesen. Dazu gibt es auch statistische Untersuchungen.•
F ¨ur spezielle Klassen kann man die Beschr ¨anktheit vonρ(A)
und damit die R ¨uckw ¨artssta- bilit ¨at des Gauß-Algorithmus beweisen, z.B.–
A
symmetrisch positiv definit⇒ ρ(A) ≤ 1
–A
strikt diagonal dominant⇒ ρ(A) ≤ 2
Bemerkung: F ¨ur die Wilkinson-Matrix
A =
1 1
−1
. . . ... ... . . . ... ...−1 · · · −1 1
∈
Rn×ngilt
max
i,j,k|˜ a
(k)ij| = 2
n−1.Literatur
[1] Nicholas J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 2002 (2nd edition).
[2] Gene H. Golub, Charles F. van Loan. Matrix Computations. John Hopkins University Press, Baltimore, 1996 (3rd edition).
