Satz von Gauß

Satz von Gauß

F¨ur ein stetig differenzierbares VektorfeldF~ auf einem regul¨aren r¨aumlichen BereichV, der durch eine Fl¨acheS mit nach außen orientiertem vektoriellen Fl¨achenelement dS~ berandet wird, gilt

Z Z Z

V

divF dV~ = Z Z

S

F~ ·dS~.

Die Glattheitsvoraussetzungen an F~ und S k¨onnen abgeschw¨acht werden, indem man die Integrale ¨uber geeignete Grenzprozesse definiert.

Beweis:

Hauptsatz f¨ur mehrdimensionale Integrale =⇒ Z Z Z

V

∂νFνdV = Z Z

S

Fνn^◦_νdS

mit Fν den Komponenten vonF~

Summation ¨uberν = 1,2,3,dS~ =~n^◦dS

X

ν

∂_νF_ν = divF~

X

ν

Fνn^◦_νdS= = F~ ·~n^◦dS =F~·dS~

d.h. die behauptete Identit¨at

Beispiel:

Illustration des Satzes von Gauß f¨ur die Einheitskugel

V : r²=x²+y²+z²≤1 mit Oberfl¨acheS und das Vektorfeld

F~ =



 x xy z³





unter Verwendung von Kugelkoordinaten

x =rsinϑcosϕ,y =rsinϑsinϕ,z =rcosϑ

Volumen- und vektorielles Fl¨achenelement

dV = r²sinϑdrdϕdϑdr dS~ = ~e_rsinϑdϕdϑ

| {z }

dS

(i) I_V =RRR

V divF dV~ : Divergenz

divF~ =∂_xx+∂_yxy+∂_zz³ = 1 +x+ 3z² Darstellung mit Kugelkoordinaten

I_V =

1

Z

0 π

Z

0 2π

Z

0

(1 +rcosϕsinϑ+ 3r²cos²ϑ) r²sinϑdϕdϑdr

| {z }

dV

Produktform des zweiten und dritten Terms, R2π

0 cosϕdϕ= 0

I_V = volV + 0 + 2π



 Z1

0

r⁴dr







 Zπ

0

3 cos²ϑsinϑdϑ





= 4

3π+ 2π 1

5r⁵ 1

r=0

−cos³ϑπ ϑ=0 = 4

3π+4

5π = 32 15π

(ii) I_S =RR

SF~ ·dS:~

F_r = F~·~e_r =





sinϑcosϕ sinϑcosϕsinϑsinϕ

cos³ϑ



·





sinϑcosϕ sinϑsinϕ

cosϑ





= cos²ϕsin²ϑ+ sin²ϕcosϕsin³ϑ+ cos⁴ϑ Flussintegral

I_S =

π

Z

0 2π

Z

0

F_r sinϑdϕdϑ

| {z }

dS

= π

π

Z

0

sinϑ(1−cos²ϑ)dϑ+ 0 + 2π

π

Z

0

cos⁴ϑsinϑdϑ

= π

[−cosϑ]^π₀ + 1

3cos³ϑ π

0

+ 2π

−1 5cos⁵ϑ

π 0

2 4 32

Beispiel:

Illustration des Satzes von Gauß f¨ur das radiale Feld F~ =r^se~_r und die Kugel V : r <R mit Oberfl¨ache S : r =R

Formel f¨ur die Divergenz in Kugelkoordinaten =⇒ divF~ = 1

r²∂r(r²r^s) = (s+ 2)r^s−1 dV = 4πr²dr =⇒

Z Z Z

V

divF dV~ = 4π

R

Z

0

(s + 2)r^s+1dr = 4πR^s+2 (s >−2)

dS~ =~erdS =⇒ Z Z

S

F~·dS~ = Z Z

S

R^sdS = area(S)R^s = (4πR²)R^s

Beispiel

Polyeder V mit Inkugel (ber¨uhrt jede Fl¨ache), Radiusr_i Hesse-Normalform

~

r·dS~ =~r·~n^◦

| {z }

=const

dS=ridS

Volumenberechnung mit dem Satz von Gauß 3 vol(V) =

Z Z

S

~r·dS~ = Z Z

S

r_idS=r_iarea(S)

Hexaeder mit Kantenl¨age a:

Oberfl¨ache 6a², Inkugelradius ^a₂, Volumena³ = (6a²·a/2)/3 Tetraeder mit Kantenl¨age a:

Oberfl¨ache 4¹₂

√ 3a²

2 =a²√

3, Volumen

√ 2a³

12 Inkugelradius

√ 6a 12

Kugel (Grenzfall):

4πr³ 2