Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß
F¨ ur einen regul¨ aren r¨ aumlichen Bereich V , der durch eine Fl¨ ache S mit nach außen gerichteter Normale berandet wird, gilt aufgrund des Satzes von Gauß
3 vol V = Z Z
S
~ r · d S ~ .
Insbesondere erh¨ alt man f¨ ur ein lineares Feld F ~ = A~ r wegen div F ~ = Spur A Spur A vol V =
Z Z
S
(A~ r) · d S ~ .
Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß 1-1
Beispiel
Polyeder V mit Inkugel (ber¨ uhrt jede Fl¨ ache), Radius r
iHesse-Normalform
~
r · d S ~ = ~ r · ~ n
◦| {z }
=const
dS = r
idS
Volumenberechnung mit dem Satz von Gauß 3 vol(V ) =
Z Z
S
~ r · d S ~ = Z Z
S
r
idS = r
iarea(S )
Hexaeder mit Kantenl¨ age a:
Oberfl¨ ache 6a
2, Inkugelradius
a2, Volumen a
3= (6a
2· a/2)/3 Tetraeder mit Kantenl¨ age a:
Oberfl¨ ache 4
12√ 3a2
2
= a
2√
3, Volumen
√ 2a3
12
Inkugelradius
√ 6a 12
Kugel (Grenzfall):
Volumen
4πr33, Oberfl¨ ache 4πr
2korrektes Verh¨ altnis r : 3
Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß 2-1
