Lineare Algebra II - SS 2016
Ubungsblatt 10 ¨
Prof. Dr. Mohamed Barakat, Sebastian Gutsche, Sebastian Posur
Aufgabe 1. (Smith-Form. 4 Punkte.) Bestimme die Smith-Form von
A:=
18 3 26 4 1 6 20 4 30 12 2 26
∈Z4×3.
Sei M := hA−1, . . . , A−3i ≤ Z4×1. Bestimme den Rang und die Elementarteiler von Z4×1/M.
Aufgabe 2. (Smith-Form. 4 Punkte.) Bestimme die Smith-Form von
A:=
x2−4 x2−4x+ 3 x3−x2+x−1 x2−3x+ 2 x2−x x3−x2−x+ 1
∈Q[x]2×3.
Sei M := hA−1. . . . , A−3i ≤ Q[x]2×1. Bestimme den Rang und die Elementarteiler von Q[x]2×1/M.
Aufgabe 3. (Simultanes Kongruenzensystem. 4 Punkte.) Seien
A:=
2 + 2i 2 +i 1 + 2i −1 +i
∈Z[i]2×2, b:=
1 1
∈Z[i]2×1.
Bestimme alle L¨osungenz ∈Z[i]2×1 von
Az ≡b (mod 9Z[i]2×1).
Aufgabe 4. (Klassifikation bis auf Isomorphie. 4 Punkte.)
1. Seien p, q, r ∈ N paarweise verschiedene Primzahlen und n := p3q2r. Bestimme bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen von Ordnung n.
2. Bestimme bis auf Isomorphie alle abelschen Gruppen von Ordnung 3125.
3. Sei K ein K¨orper und R := K[x]/hx5i. Bestimme bis auf Isomorphie alle endlich erzeugten R-Moduln, die als K-Vektorr¨aume die Dimension 5 haben.
Bitte wirf deine bearbeiteten Hausaufgaben bis Mittwoch, 22.06.2016, 15:00 Uhr in den Kasten zur Linearen Algebra II (ENC, 2. Etage, am Zugang zum Geb¨audeteil D) ein.
