Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

SS 2010 18. Juni 2010

Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie ¨

Blatt 9

Aufgabe 33

Der folgende ‘Beweis’ zeigt, dass 1>10¹⁰. Man finde den (die) Fehler.

Es ist e^2π >2⁶, (1)

also e^4π2 = (e^2π)^2π >(2⁶)⁶ = 2³⁶>10¹⁰. (2)

Weiter gilt e^2πi+1 =e, (3)

also auch e^(2πi+1)2 =e^2πi+1 =e. (4)

Andererseits ist e^(2πi+1)2 =e^{−4π2+4πi+1} (5)

=e^−4π2+1 =e^−4π2e. (6)

Aus (4) und (6) folgt e^−4π2 = 1, also e^4π2 = 1. (7)

Zusammen mit (2) erh¨alt man 1>10¹⁰. (8)

Aufgabe 34 Sei

G₁ :=C r(]− ∞,−1]∪[1,∞[), G₂ :=C r[−1,1]

DaG₁ einfach zusammenh¨angend ist, existiert in G₁ ein holomorpher Zweig von √

1−z². Es bezeichneg₁ :G₁ →C den Zweig mit g₁(0) = 1.

a) Man zeige, dass G₂ nicht einfach zusammenh¨angend ist, aber trotzdem in G₂ ein Zweig von √

1−z² existiert. Es bezeichne g₂ : G₂ → C denjenigen Zweig, der f¨ur reelle x > 1 positiv imagin¨are Werte annimmt.

b) Man vergleicheg1 und g2 aufG1∩G2. Aufgabe 35

Die Bezeichnungen seien wie in Aufgabe 34.

a) Man entwickle g1 um den Nullpunkt in eine Taylor-Reihe.

b) Man entwickle g₁ um den Punkt z₀ =iin eine Taylor-Reihe.

c) Man entwickle g₂ im Ringgebiet{z ∈C: 1<|z|<∞} in eine Laurent-Reihe.

b.w.

Aufgabe 36

a) Seif die rationale Funktion f(z) := 1

1−z−z²,

vgl. Aufgabe 4. Seien r₁ < r₂ die Betr¨age der Nullstellen von 1−z −z². Man bestimme die Laurent-Entwicklung von f in den Ringgebieten {r1 <|z|< r2}und {r2 <|z|<∞}.

b)^∗ Sei g die meromorphe Funktion

g(z) := 1 cosz,

vgl. Aufgabe 8. Man berechne die Laurent-Entwicklung vong im Ringgebiet n

z ∈C: π

2 <|z|< 3π 2

o .

Abgabetermin:Freitag, 25. Juni 2010, 14 Uhr, ¨Ubungskasten im 1. Stock Stern-Aufgaben sind nicht obligatorisch; ihre L¨osung ergibt Extra-Punkte.